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三国魏人刘徽,自撰《海岛算经》,专论测高望远.其中有一题,是数学史上有名的测量问题.今译如下:如图,要测量海岛上一座山峰A的高度AH,立两根高三丈的标杆BC和DE,两竿相距BD=10
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三国魏人刘徽,自撰《海岛算经》,专论测高望远.其中有一题,是数学史上有名的测量问题.今译如下:
如图,要测量海岛上一座山峰A的高度AH,立两根高三丈的标杆BC和DE,两竿相距BD=1 000步,D、B、H成一线,从BC退行123步到F,人目着地观察A,A、C、F三点共线;从DE退行127步到G,从G看A,A、E、G三点也共线.试算出山峰的高度AH及HB的距离.(古制1步=6尺,1里=180丈=1 800尺=300步.结果用里和步来表示)

如图,要测量海岛上一座山峰A的高度AH,立两根高三丈的标杆BC和DE,两竿相距BD=1 000步,D、B、H成一线,从BC退行123步到F,人目着地观察A,A、C、F三点共线;从DE退行127步到G,从G看A,A、E、G三点也共线.试算出山峰的高度AH及HB的距离.(古制1步=6尺,1里=180丈=1 800尺=300步.结果用里和步来表示)

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答案和解析
∵AH∥BC,
∴△BCF∽△HAF,
∴
=
,
又∵DE∥AH,
∴△DEG∽△HAG,
∴
=
,
又∵BC=DE,
∴
=
,
即
=
,
∴BH=30750(步),
又∵
=
,
∴AH=
,即AH=
=1255(步).
∴△BCF∽△HAF,
∴
BF |
HF |
BC |
AH |
又∵DE∥AH,
∴△DEG∽△HAG,
∴
DG |
HG |
DE |
AH |
又∵BC=DE,
∴
BF |
HF |
DG |
HG |
即
123 |
123+HB |
127 |
127+1000+HB |
∴BH=30750(步),
又∵
BF |
HF |
BC |
AH |
∴AH=
BC•HF |
BF |
5×(30750+123) |
123 |
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