三角形ABC为等边三角形,延长BC到D,延长BA到E,使AE=BD,连结CE、DE求证：EC=ED.

Question

三角形ABC为等边三角形,延长 BC到 D ,延长BA 到E,使AE=BD ,连结CE 、DE 求证：EC=ED.

Answer 1

分析：证明线段相等目前有通过证明“三角形全等”和“等角对等边”两个主要的方法,而在有关线段的条件较多的情况下,考虑全等思路可能好一些,另外,可用递推法进行分析,即：若有EC=ED就应有分别以EC、ED为一边的两个三角形全等,再看EC即三角形EBC的一条边（又是三角形EAC的一条边）,由此需要找一个（或构造一个） 以ED为边的三角形,并且此三角形要有可能与三角形EBC全等,由此辅助线就不再是盲目的事情.
证明：（方法一）延长CD到F,使DF=BC,连结EF
∵AE=BD
∴AE=CF
∵DABC为正三角形
∴BE=BF 角B=60°
∴DEBF为等边三角形
∴角F=60° EF=EB
在DEBC和DEFD中
EB=EF（已证）
角B=角F（已证）
BC=DF（已作）
∴三角形EBC≌三角形EFD （SAS）
∴EC=ED （全等三角形对应边相等）
（方法二）过D作DF‖AC交AE于F
∴角1=角2 （两直线平行,同位角相等）
∴角3=角4=60°
∵三角形ABC为等边三角形
∴角B=60°
∴三角形FBD为等边三角形
∴FD=BD
∵BD=AE
∴AE=FD
∴BF=BD=AE
∴BF=AE
∴BF－AF=AE－AF （等量减等量差相等）
∴AB=EF ∴EF=AC
在三角形EAC和三角形DFE中
AE=FD(已证)
角1=角2（已证）
AC=EF（已证）
∴三角形EAC≌三角形DFE
∴EC=ED （全等三角形对应边相等）
（方法三）：过E作EH⊥BD于H
（方法四）：过E作EH‖BD交CA延长线于H