设函数f(x)=3x^2+a/x^3,求正数a的取值范围,使得对于任意都x∈﹙0,+∞﹚有不等式f（x)≥20成立

Question

设函数f(x)=3x^2+a/x^3,求正数a的取值范围,使得对于任意都x∈﹙0,+∞﹚有不等式f（x)≥20成立

Answer 1

由均值不等式,有：
f(x)=x^2+x^2+x^2+a/(2x^3)+a/(2x^3)>=5[(x^2)^3*(a/(2x^3))^2]^(1/5)=5[a^2/4]^(1/5)
当x^2=a/(2x^3)时,即x=(a/2)^(1/5)时,f(x)取到最小值5[a^2/4]^(1/5)
因此有：5[a^2/4]^(1/5)>=20
解得：a>=64