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设函数f(x)=3x^2+a/x^3,求正数a的取值范围,使得对于任意都x∈﹙0,+∞﹚有不等式f(x)≥20成立
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设函数f(x)=3x^2+a/x^3,求正数a的取值范围,使得对于任意都x∈﹙0,+∞﹚有不等式f(x)≥20成立
▼优质解答
答案和解析
由均值不等式,有:
f(x)=x^2+x^2+x^2+a/(2x^3)+a/(2x^3)>=5[(x^2)^3*(a/(2x^3))^2]^(1/5)=5[a^2/4]^(1/5)
当x^2=a/(2x^3)时,即x=(a/2)^(1/5)时,f(x)取到最小值5[a^2/4]^(1/5)
因此有:5[a^2/4]^(1/5)>=20
解得:a>=64
f(x)=x^2+x^2+x^2+a/(2x^3)+a/(2x^3)>=5[(x^2)^3*(a/(2x^3))^2]^(1/5)=5[a^2/4]^(1/5)
当x^2=a/(2x^3)时,即x=(a/2)^(1/5)时,f(x)取到最小值5[a^2/4]^(1/5)
因此有:5[a^2/4]^(1/5)>=20
解得:a>=64
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