已知两点A（-2,1）,B（2,-3）,在坐标轴上求一点P,使∠APB=90°,并求出线段AB的垂直平分线l的方程

Question

已知两点A（-2,1）,B（2,-3）,在坐标轴上求一点P,使∠APB=90°,并求出线段AB的垂直平分线l的方程

Answer 1

（1）若 P 在 x 轴上,设 P 坐标为（a,0）,
根据勾股定理得 AP^2+BP^2 = AB^2 ,
所以 (a+2)^2+(0-1)^2+(a-2)^2+(0+3)^2 = (2+2)^2+(-3-1)^2 ,
解得 a = ±√7 ；
（2）若 P 在 y 轴上,设 P 坐标为（0,b）,
则由 AP^2+BP^2 = AB^2 得 (0+2)^2+(b-1)^2+(0-2)^2+(b+3)^2=(2+2)^2+(-3-1)^2,
解得 b = -1±2√2 ；
综上,坐标轴上满足 ∠APB = 90° 的点 P 有四个,
坐标分别是：（-√7,0）,（√7,0）,（0,-1-2√2）,（0,-1+2√2）.
线段 AB 的垂直平分线方程为 (x+2)^2+(y-1)^2 = (x-2)^2+(y+3)^2 ,
化简得 x-y-1 = 0 .