在△ABC中,AD是∠A的平分线交BC于D,E,F分别为AB、AC上的点.M、N分别为EF、BC的中点,求证AD//MN还有个条件忘给了：BE=CF

Question

在△ABC中,AD是∠A的平分线交BC于D,E,F分别为AB、AC上的点.M、N分别为EF、BC的中点,求证AD//MN
还有个条件忘给了：BE=CF

Answer 1

你自己画图吧,我简要说一下证明过程.
假设角B大于角C ,三角型ABC的三条边分别为a,b,c,过点N做AD的平行线L,L与EF,AC分别交与M,H 两点,证明M是EF的中点.AD与EFJ交与O
根据余玄定理可以有：[sin(A/2)]/BD=sinb/AD; [sin(A/2)]/CD=sinC/AD
得BD/CD=sinC/sinB=c/b; CD+BC=a;CD=ab/(b+c)
根据三角形CAD和CHN相似得:CD/CN=AC/HC;[ab/(b+c)]/(a/2)=b/HC;得HC=(b+c)/2
AH=b-HC=(b-c)/2
同样由余玄定理还有: [sin(A/2)]/FO=sin(AFO)/AO; [sin(A/2)]/EO=sin(AEO)/AO
得FO/EO=sin(AEO)/sin(AFO)=AF/AE;得FO=EF*AF/(AE+AF)
根据三角形CAO和CHM相似得FM/FO=HF/AF
FM/[EF*AF/(AE+AF)]=HF/AF得FM=EF*FH/(AF+AE)
设BE=CF=d
AF=c-d;AF=b-d;AF+AE=b+c-2d
FH=b-d-AH=b-d-(b-c)/2=(b+c)/2-d=(AF+AE)/2
所以FM=EF*FH/(AF+AE)=EF/2
所以M是EF的中点.
本题得证.
好累!