乱七八糟的数学题（第一辑）1.证明：x^2-xy+y^2+x+y不能分解成两个一次因式的积2.当k为何值时,x^2-y^2+3x-7y-k可以分解成两个一次因式3.已知x+y-2是二元二次式x^2+axy+by^2-5x+y+6的一个因式,则a,b分别

Question

乱七八糟的数学题（第一辑）
1.证明：x^2-xy+y^2+x+y不能分解成两个一次因式的积
2.当k为何值时,x^2-y^2+3x-7y-k 可以分解成两个一次因式
3.已知x+y-2是二元二次式 x^2+axy+by^2-5x+y+6的一个因式,则a,b分别为（填空）
4.已知a+b+c=3k,k为常数,且(a-k)^3+(b-k)^3+(c-k)^3=0.求证：a,b,c中至少有一个等于k

Answer 1

1/假设可以
则x^2-xy+y^2+x+y
=(x+ay+b)(x+cy+d)
常数项是0,所以bd=0,所以b和d有一个是0
不妨设d=0
(x+ay+b)(x+cy)=x^2+(a+c)xy+acy^2+bx+bcy=x^2-xy+y^2+x+y
所以a+c=-1
ac=1
b=1
bc=1
由b=1,bc=1
所以c=1
ac=1,所以a=1
这和a+c=-1矛盾
所以假设错误
所以x^2-xy+y^2+x+y不能分解成两个一次因式的积
2/
x平方-y平方+3x-7y+k
=[x+(3/2)]^2-[y+(7/2)]^-(9/4)+(49/4)+k
=(x+y+5)(x-y-2)-29/2+k
所以
k=29/2
3/设另一个因式为x+by-3
(x+y-2)(x+by-3)
=x^2+bxy-3x+xy+by^2-3y-2x-2by+6
=x^2+(b+1)xy+by^2-5x-(3+2b)y+6
所以b+1=a,3+2b=1
得a=0,b=-1
4.a+b+c-3k=0
a-k+b-k+c-k=0
令x=a-k
y=b-k
z=c-k
则x+y+z=0
x³+y³+z³=0
z=-(x+y)
所以x³+y³+z³=0
x³+y³-(x+y)³=0
x³+y³-x³-3x²y-3xy²-y³=0
-3xy(x+y)=0
即3xyz=0
所以x,y,z中至少有一个为0
即a-k,b-k,c-k中至少有一个为0
所以a、b、c中至少有一个等于k