已知函数f（x）=-x3-2ax2-a2x+1-a（其中a＞-2）的图象在x=2处的切线与直线5x+y-12=0平行．（1）求实数a的值及该切线方程；（2）若对于任意的x1，x2∈[0，1]，|f（x1）-f（x2）|≤M恒成立，求实数M的

Question

已知函数f（x）=-x³-2ax²-a²x+1-a（其中a＞-2）的图象在x=2处的切线与直线5x+y-12=0平行．
（1）求实数a的值及该切线方程；
（2）若对于任意的x₁，x₂∈[0，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤M恒成立，求实数M的最小值．

Answer 1

（1）由f（x）=-x³-2ax²-a²x+1-a得f'（x）=-3x²-4ax-a²
由题意f'（x）=-5，∴-3×4-8a-a²=-5即a²+8a+7=0
解得a=-1或a=-7，∵a＞-2，∴a=-1
∴f（x）=-3x³+2x²-x+2，∴f（2）=0
切线方程为：y=-5（x-2）即5x+y-10=0
（2）由（1）知f'（x）=-3x²+4x-1，令f′(x)＝0得x1＝(1)/(3)，x2＝1
当x变化时f'（x），f（x）随x变化的情况如下表

由表可知f（x）在区间[0，1]上的最小值f((1)/(3))＝(50)/(27)，
最大值为f（0）=f（1）=2
∵对任意的x₁，x₂∈[0，1]，f（x）=|2−(50)/(27)|＝(4)/(27)
∵|f（x₁）-f（x₂）|≤M恒成立，
∴M的最小值为(4)/(27)