如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD（不含B点）上的任意一点,将BM绕点B逆时针转6

Question

如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD（不含B点）上的任意一点,将BM绕点B逆时针转6

Answer 1

如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD（不含B点）上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.
⑴ 求证：△AMB≌△ENB；
⑵ ①当M点在何处时,AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时,AM＋BM＋CM的值最小,并说明理由；
⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为时,求正方形的边长.
【答案】⑴∵△ABE是等边三角形,
∴BA＝BE,∠ABE＝60°.
∵∠MBN＝60°,
∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.
即∠BMA＝∠NBE.
又∵MB＝NB,
∴△AMB≌△ENB（SAS）.
⑵①当M点落在BD的中点时,AM＋CM的值最小.
②如图,连接CE,当M点位于BD与CE的交点处时,
AM＋BM＋CM的值最小.………………9分
理由如下：连接MN.由⑴知,△AMB≌△ENB,
∴AM＝EN.
∵∠MBN＝60°,MB＝NB,
∴△BMN是等边三角形.
∴BM＝MN.
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.
根据“两点之间线段最短”,得EN＋MN＋CM＝EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时,AM＋BM＋CM的值最小,即等于EC的长.
⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F,
∴∠EBF＝90°－60°＝30°.
设正方形的边长为x,则BF＝x,EF＝.
在Rt△EFC中,
∵EF2＋FC2＝EC2,
∴（）2＋（x＋x）2＝.
解得,x＝（舍去负值）.
∴正方形的边长为.