曲线y=x3上一点B处的切线l交x轴于点A，△OAB（O是原点）是以A为顶点的等腰三角形，则切线l的倾斜角为（）A.30°B.45°C.60°D.120°

Question

曲线y=x³上一点B处的切线l交x轴于点A，△OAB（O是原点）是以A为顶点的等腰三角形，则切线l的倾斜角为（　　）
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 120°

Answer 1

对曲线y=x³求导，得，y′=3x²，
设切点B（x₀，x₀³），则B点处的切线斜率为3x₀²，
∴切线l的方程为y-x₀³=3x₀²（x-x₀）
令y=0，得A（(2)/(3)x₀，0）
∵|OA|=|AB|
∴|(2)/(3)x₀|=√(((x0)/(3))2+(x03)2)
解方程得：x₀⁴=(1)/(3)
∴切线l的斜率为3x₀²=√(3)
∴切线l的倾斜角为60°
故选C