如图，△ABC中，AC=BC=10cm，AB=12cm，点D是AB的中点，连结CD，动点P从点A出发，沿A→C→B的路径运动，到达点B时运动停止，速度为每秒2cm，设运动时间为t秒．（1）求CD的长；（2）当t为何值时

Question

如图，△ABC中，AC=BC=10cm，AB=12cm，点D是AB的中点，连结CD，动点P从点A出发，沿A→C→B的路径运动，到达点B时运动停止，速度为每秒2cm，设运动时间为t秒．

（1）求CD的长；
（2）当t为何值时，△ADP是直角三角形？
（3）直接写出：当t为何值时，△ADP是等腰三角形？如图，△ABC中，AC=BC=10cm，AB=12cm，点D是AB的中点，连结CD，动点P从点A出发，沿A→C→B的路径运动，到达点B时运动停止，速度为每秒2cm，设运动时间为t秒．

（1）求CD的长；
（2）当t为何值时，△ADP是直角三角形？
（3）直接写出：当t为何值时，△ADP是等腰三角形？

Answer 1

（1）如图所示，AC=BC=10cm，AB=12cm，点D是AB的中点，

∴CD⊥AB，AD=DB=(1)/(2)AB=6cm，
∴Rt△ACD中，CD=√(AC2-AD2)=8cm；

（2）分两种情况：
①如图所示，当DP⊥AC时，△ADP是直角三角形，

∵∠A=∠A，∠APD=∠ADC=90°，
∴△APD∽△ADC，
∴(AP)/(AD)=(AD)/(AC)，即(2t)/(6)=(6)/(10)，
解得t=1.8，
②如图所示，当PD⊥AD时，△ADP是直角三角形，

此时点P与点C重合，AP=AC=10，
∴t=(10)/(2)=5，
综上所述，当t=1.8或5秒时，△ADP是直角三角形；

（3）分三种情况：
①如图所示，当PA=PD时，过点P作PE⊥AD于E，则AE=(1)/(2)AD=3，

∵PE∥CD，
∴△APE∽△ACD，
∴(AP)/(AC)=(AE)/(AD)，即(2t)/(10)=(3)/(6)，
解得t=(5)/(2)；
②如图所示，当AP=AD时，2t=6，

∴t=(6)/(2)=3；
③如图所示，当AD=PD时，过点D作DF⊥AP于F，则AF=(1)/(2)AP=t，

∵∠A=∠A，∠AFD=∠ADC=90°，
∴△AFD∽△ADC，
∴(AF)/(AD)=(AD)/(AC)，即(t)/(6)=(6)/(10)，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形． (1)/(2)12111222AB=6cm，
∴Rt△ACD中，CD=√(AC2-AD2)=8cm；

（2）分两种情况：
①如图所示，当DP⊥AC时，△ADP是直角三角形，

∵∠A=∠A，∠APD=∠ADC=90°，
∴△APD∽△ADC，
∴(AP)/(AD)=(AD)/(AC)，即(2t)/(6)=(6)/(10)，
解得t=1.8，
②如图所示，当PD⊥AD时，△ADP是直角三角形，

此时点P与点C重合，AP=AC=10，
∴t=(10)/(2)=5，
综上所述，当t=1.8或5秒时，△ADP是直角三角形；

（3）分三种情况：
①如图所示，当PA=PD时，过点P作PE⊥AD于E，则AE=(1)/(2)AD=3，

∵PE∥CD，
∴△APE∽△ACD，
∴(AP)/(AC)=(AE)/(AD)，即(2t)/(10)=(3)/(6)，
解得t=(5)/(2)；
②如图所示，当AP=AD时，2t=6，

∴t=(6)/(2)=3；
③如图所示，当AD=PD时，过点D作DF⊥AP于F，则AF=(1)/(2)AP=t，

∵∠A=∠A，∠AFD=∠ADC=90°，
∴△AFD∽△ADC，
∴(AF)/(AD)=(AD)/(AC)，即(t)/(6)=(6)/(10)，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形． √(AC2-AD2)

AC2-AD2

AC2-AD2

AC2-AD2AC2-AD22-AD22=8cm；

（2）分两种情况：
①如图所示，当DP⊥AC时，△ADP是直角三角形，

∵∠A=∠A，∠APD=∠ADC=90°，
∴△APD∽△ADC，
∴(AP)/(AD)=(AD)/(AC)，即(2t)/(6)=(6)/(10)，
解得t=1.8，
②如图所示，当PD⊥AD时，△ADP是直角三角形，

此时点P与点C重合，AP=AC=10，
∴t=(10)/(2)=5，
综上所述，当t=1.8或5秒时，△ADP是直角三角形；

（3）分三种情况：
①如图所示，当PA=PD时，过点P作PE⊥AD于E，则AE=(1)/(2)AD=3，

∵PE∥CD，
∴△APE∽△ACD，
∴(AP)/(AC)=(AE)/(AD)，即(2t)/(10)=(3)/(6)，
解得t=(5)/(2)；
②如图所示，当AP=AD时，2t=6，

∴t=(6)/(2)=3；
③如图所示，当AD=PD时，过点D作DF⊥AP于F，则AF=(1)/(2)AP=t，

∵∠A=∠A，∠AFD=∠ADC=90°，
∴△AFD∽△ADC，
∴(AF)/(AD)=(AD)/(AC)，即(t)/(6)=(6)/(10)，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形． (AP)/(AD)APADAPAPAPADADAD=(AD)/(AC)，即(2t)/(6)=(6)/(10)，
解得t=1.8，
②如图所示，当PD⊥AD时，△ADP是直角三角形，

此时点P与点C重合，AP=AC=10，
∴t=(10)/(2)=5，
综上所述，当t=1.8或5秒时，△ADP是直角三角形；

（3）分三种情况：
①如图所示，当PA=PD时，过点P作PE⊥AD于E，则AE=(1)/(2)AD=3，

∵PE∥CD，
∴△APE∽△ACD，
∴(AP)/(AC)=(AE)/(AD)，即(2t)/(10)=(3)/(6)，
解得t=(5)/(2)；
②如图所示，当AP=AD时，2t=6，

∴t=(6)/(2)=3；
③如图所示，当AD=PD时，过点D作DF⊥AP于F，则AF=(1)/(2)AP=t，

∵∠A=∠A，∠AFD=∠ADC=90°，
∴△AFD∽△ADC，
∴(AF)/(AD)=(AD)/(AC)，即(t)/(6)=(6)/(10)，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形． (AD)/(AC)ADACADADADACACAC，即(2t)/(6)=(6)/(10)，
解得t=1.8，
②如图所示，当PD⊥AD时，△ADP是直角三角形，

此时点P与点C重合，AP=AC=10，
∴t=(10)/(2)=5，
综上所述，当t=1.8或5秒时，△ADP是直角三角形；

（3）分三种情况：
①如图所示，当PA=PD时，过点P作PE⊥AD于E，则AE=(1)/(2)AD=3，

∵PE∥CD，
∴△APE∽△ACD，
∴(AP)/(AC)=(AE)/(AD)，即(2t)/(10)=(3)/(6)，
解得t=(5)/(2)；
②如图所示，当AP=AD时，2t=6，

∴t=(6)/(2)=3；
③如图所示，当AD=PD时，过点D作DF⊥AP于F，则AF=(1)/(2)AP=t，

∵∠A=∠A，∠AFD=∠ADC=90°，
∴△AFD∽△ADC，
∴(AF)/(AD)=(AD)/(AC)，即(t)/(6)=(6)/(10)，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形． (2t)/(6)2t62t2t2t666=(6)/(10)，
解得t=1.8，
②如图所示，当PD⊥AD时，△ADP是直角三角形，

此时点P与点C重合，AP=AC=10，
∴t=(10)/(2)=5，
综上所述，当t=1.8或5秒时，△ADP是直角三角形；

（3）分三种情况：
①如图所示，当PA=PD时，过点P作PE⊥AD于E，则AE=(1)/(2)AD=3，

∵PE∥CD，
∴△APE∽△ACD，
∴(AP)/(AC)=(AE)/(AD)，即(2t)/(10)=(3)/(6)，
解得t=(5)/(2)；
②如图所示，当AP=AD时，2t=6，

∴t=(6)/(2)=3；
③如图所示，当AD=PD时，过点D作DF⊥AP于F，则AF=(1)/(2)AP=t，

∵∠A=∠A，∠AFD=∠ADC=90°，
∴△AFD∽△ADC，
∴(AF)/(AD)=(AD)/(AC)，即(t)/(6)=(6)/(10)，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形． (6)/(10)610666101010，
解得t=1.8，
②如图所示，当PD⊥AD时，△ADP是直角三角形，

此时点P与点C重合，AP=AC=10，
∴t=(10)/(2)=5，
综上所述，当t=1.8或5秒时，△ADP是直角三角形；

（3）分三种情况：
①如图所示，当PA=PD时，过点P作PE⊥AD于E，则AE=(1)/(2)AD=3，

∵PE∥CD，
∴△APE∽△ACD，
∴(AP)/(AC)=(AE)/(AD)，即(2t)/(10)=(3)/(6)，
解得t=(5)/(2)；
②如图所示，当AP=AD时，2t=6，

∴t=(6)/(2)=3；
③如图所示，当AD=PD时，过点D作DF⊥AP于F，则AF=(1)/(2)AP=t，

∵∠A=∠A，∠AFD=∠ADC=90°，
∴△AFD∽△ADC，
∴(AF)/(AD)=(AD)/(AC)，即(t)/(6)=(6)/(10)，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形． (10)/(2)102101010222=5，
综上所述，当t=1.8或5秒时，△ADP是直角三角形；

（3）分三种情况：
①如图所示，当PA=PD时，过点P作PE⊥AD于E，则AE=(1)/(2)AD=3，

∵PE∥CD，
∴△APE∽△ACD，
∴(AP)/(AC)=(AE)/(AD)，即(2t)/(10)=(3)/(6)，
解得t=(5)/(2)；
②如图所示，当AP=AD时，2t=6，

∴t=(6)/(2)=3；
③如图所示，当AD=PD时，过点D作DF⊥AP于F，则AF=(1)/(2)AP=t，

∵∠A=∠A，∠AFD=∠ADC=90°，
∴△AFD∽△ADC，
∴(AF)/(AD)=(AD)/(AC)，即(t)/(6)=(6)/(10)，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形． (1)/(2)12111222AD=3，

∵PE∥CD，
∴△APE∽△ACD，
∴(AP)/(AC)=(AE)/(AD)，即(2t)/(10)=(3)/(6)，
解得t=(5)/(2)；
②如图所示，当AP=AD时，2t=6，

∴t=(6)/(2)=3；
③如图所示，当AD=PD时，过点D作DF⊥AP于F，则AF=(1)/(2)AP=t，

∵∠A=∠A，∠AFD=∠ADC=90°，
∴△AFD∽△ADC，
∴(AF)/(AD)=(AD)/(AC)，即(t)/(6)=(6)/(10)，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形． (AP)/(AC)APACAPAPAPACACAC=(AE)/(AD)，即(2t)/(10)=(3)/(6)，
解得t=(5)/(2)；
②如图所示，当AP=AD时，2t=6，

∴t=(6)/(2)=3；
③如图所示，当AD=PD时，过点D作DF⊥AP于F，则AF=(1)/(2)AP=t，

∵∠A=∠A，∠AFD=∠ADC=90°，
∴△AFD∽△ADC，
∴(AF)/(AD)=(AD)/(AC)，即(t)/(6)=(6)/(10)，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形． (AE)/(AD)AEADAEAEAEADADAD，即(2t)/(10)=(3)/(6)，
解得t=(5)/(2)；
②如图所示，当AP=AD时，2t=6，

∴t=(6)/(2)=3；
③如图所示，当AD=PD时，过点D作DF⊥AP于F，则AF=(1)/(2)AP=t，

∵∠A=∠A，∠AFD=∠ADC=90°，
∴△AFD∽△ADC，
∴(AF)/(AD)=(AD)/(AC)，即(t)/(6)=(6)/(10)，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形． (2t)/(10)2t102t2t2t101010=(3)/(6)，
解得t=(5)/(2)；
②如图所示，当AP=AD时，2t=6，

∴t=(6)/(2)=3；
③如图所示，当AD=PD时，过点D作DF⊥AP于F，则AF=(1)/(2)AP=t，

∵∠A=∠A，∠AFD=∠ADC=90°，
∴△AFD∽△ADC，
∴(AF)/(AD)=(AD)/(AC)，即(t)/(6)=(6)/(10)，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形． (3)/(6)36333666，
解得t=(5)/(2)；
②如图所示，当AP=AD时，2t=6，

∴t=(6)/(2)=3；
③如图所示，当AD=PD时，过点D作DF⊥AP于F，则AF=(1)/(2)AP=t，

∵∠A=∠A，∠AFD=∠ADC=90°，
∴△AFD∽△ADC，
∴(AF)/(AD)=(AD)/(AC)，即(t)/(6)=(6)/(10)，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形． (5)/(2)52555222；
②如图所示，当AP=AD时，2t=6，

∴t=(6)/(2)=3；
③如图所示，当AD=PD时，过点D作DF⊥AP于F，则AF=(1)/(2)AP=t，

∵∠A=∠A，∠AFD=∠ADC=90°，
∴△AFD∽△ADC，
∴(AF)/(AD)=(AD)/(AC)，即(t)/(6)=(6)/(10)，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形． (6)/(2)62666222=3；
③如图所示，当AD=PD时，过点D作DF⊥AP于F，则AF=(1)/(2)AP=t，

∵∠A=∠A，∠AFD=∠ADC=90°，
∴△AFD∽△ADC，
∴(AF)/(AD)=(AD)/(AC)，即(t)/(6)=(6)/(10)，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形． (1)/(2)12111222AP=t，

∵∠A=∠A，∠AFD=∠ADC=90°，
∴△AFD∽△ADC，
∴(AF)/(AD)=(AD)/(AC)，即(t)/(6)=(6)/(10)，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形． (AF)/(AD)AFADAFAFAFADADAD=(AD)/(AC)，即(t)/(6)=(6)/(10)，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形． (AD)/(AC)ADACADADADACACAC，即(t)/(6)=(6)/(10)，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形． (t)/(6)t6ttt666=(6)/(10)，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形． (6)/(10)610666101010，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形．