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如图，△ABC中，AC=BC=10cm，AB=12cm，点D是AB的中点，连结CD，动点P从点A出发，沿A→C→B的路径运动，到达点B时运动停止，速度为每秒2cm，设运动时间为t秒．（1）求CD的长；（2）当t为何值时

题目详情
如图，△ABC中，AC=BC=10cm，AB=12cm，点D是AB的中点，连结CD，动点P从点A出发，沿A→C→B的路径运动，到达点B时运动停止，速度为每秒2cm，设运动时间为t秒．
作业帮
（1）求CD的长；
（2）当t为何值时，△ADP是直角三角形？
（3）直接写出：当t为何值时，△ADP是等腰三角形？如图，△ABC中，AC=BC=10cm，AB=12cm，点D是AB的中点，连结CD，动点P从点A出发，沿A→C→B的路径运动，到达点B时运动停止，速度为每秒2cm，设运动时间为t秒．
作业帮
（1）求CD的长；
（2）当t为何值时，△ADP是直角三角形？
（3）直接写出：当t为何值时，△ADP是等腰三角形？
作业帮


▼优质解答
答案和解析
（1）如图所示，AC=BC=10cm，AB=12cm，点D是AB的中点，
作业帮
∴CD⊥AB，AD=DB=
1
2
AB=6cm，
∴Rt△ACD中，CD=
AC2-AD2
=8cm；

（2）分两种情况：
①如图所示，当DP⊥AC时，△ADP是直角三角形，
作业帮
∵∠A=∠A，∠APD=∠ADC=90°，
∴△APD∽△ADC，
∴
AP
AD
=
AD
AC
，即
2t
6
=
6
10
，
解得t=1.8，
②如图所示，当PD⊥AD时，△ADP是直角三角形，
作业帮
此时点P与点C重合，AP=AC=10，
∴t=
10
2
=5，
综上所述，当t=1.8或5秒时，△ADP是直角三角形；

（3）分三种情况：
①如图所示，当PA=PD时，过点P作PE⊥AD于E，则AE=
1
2
AD=3，
作业帮
∵PE∥CD，
∴△APE∽△ACD，
∴
AP
AC
=
AE
AD
，即
2t
10
=
3
6
，
解得t=
5
2
；
②如图所示，当AP=AD时，2t=6，
作业帮
∴t=
6
2
=3；
③如图所示，当AD=PD时，过点D作DF⊥AP于F，则AF=
1
2
AP=t，
作业帮
∵∠A=∠A，∠AFD=∠ADC=90°，
∴△AFD∽△ADC，
∴
AF
AD
=
AD
AC
，即
t
6
=
6
10
，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形．
1
2
12111222AB=6cm，
∴Rt△ACD中，CD=
AC2-AD2
=8cm；

（2）分两种情况：
①如图所示，当DP⊥AC时，△ADP是直角三角形，
作业帮
∵∠A=∠A，∠APD=∠ADC=90°，
∴△APD∽△ADC，
∴
AP
AD
=
AD
AC
，即
2t
6
=
6
10
，
解得t=1.8，
②如图所示，当PD⊥AD时，△ADP是直角三角形，
作业帮
此时点P与点C重合，AP=AC=10，
∴t=
10
2
=5，
综上所述，当t=1.8或5秒时，△ADP是直角三角形；

（3）分三种情况：
①如图所示，当PA=PD时，过点P作PE⊥AD于E，则AE=
1
2
AD=3，
作业帮
∵PE∥CD，
∴△APE∽△ACD，
∴
AP
AC
=
AE
AD
，即
2t
10
=
3
6
，
解得t=
5
2
；
②如图所示，当AP=AD时，2t=6，
作业帮
∴t=
6
2
=3；
③如图所示，当AD=PD时，过点D作DF⊥AP于F，则AF=
1
2
AP=t，
作业帮
∵∠A=∠A，∠AFD=∠ADC=90°，
∴△AFD∽△ADC，
∴
AF
AD
=
AD
AC
，即
t
6
=
6
10
，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形．
AC2-AD2
AC2-AD2
AC2-AD2
AC2-AD2AC2-AD22-AD22=8cm；

（2）分两种情况：
①如图所示，当DP⊥AC时，△ADP是直角三角形，
作业帮
∵∠A=∠A，∠APD=∠ADC=90°，
∴△APD∽△ADC，
∴
AP
AD
=
AD
AC
，即
2t
6
=
6
10
，
解得t=1.8，
②如图所示，当PD⊥AD时，△ADP是直角三角形，
作业帮
此时点P与点C重合，AP=AC=10，
∴t=
10
2
=5，
综上所述，当t=1.8或5秒时，△ADP是直角三角形；

（3）分三种情况：
①如图所示，当PA=PD时，过点P作PE⊥AD于E，则AE=
1
2
AD=3，
作业帮
∵PE∥CD，
∴△APE∽△ACD，
∴
AP
AC
=
AE
AD
，即
2t
10
=
3
6
，
解得t=
5
2
；
②如图所示，当AP=AD时，2t=6，
作业帮
∴t=
6
2
=3；
③如图所示，当AD=PD时，过点D作DF⊥AP于F，则AF=
1
2
AP=t，
作业帮
∵∠A=∠A，∠AFD=∠ADC=90°，
∴△AFD∽△ADC，
∴
AF
AD
=
AD
AC
，即
t
6
=
6
10
，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形．
AP
AD
APADAPAPAPADADAD=
AD
AC
，即
2t
6
=
6
10
，
解得t=1.8，
②如图所示，当PD⊥AD时，△ADP是直角三角形，
作业帮
此时点P与点C重合，AP=AC=10，
∴t=
10
2
=5，
综上所述，当t=1.8或5秒时，△ADP是直角三角形；

（3）分三种情况：
①如图所示，当PA=PD时，过点P作PE⊥AD于E，则AE=
1
2
AD=3，
作业帮
∵PE∥CD，
∴△APE∽△ACD，
∴
AP
AC
=
AE
AD
，即
2t
10
=
3
6
，
解得t=
5
2
；
②如图所示，当AP=AD时，2t=6，
作业帮
∴t=
6
2
=3；
③如图所示，当AD=PD时，过点D作DF⊥AP于F，则AF=
1
2
AP=t，
作业帮
∵∠A=∠A，∠AFD=∠ADC=90°，
∴△AFD∽△ADC，
∴
AF
AD
=
AD
AC
，即
t
6
=
6
10
，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形．
AD
AC
ADACADADADACACAC，即
2t
6
=
6
10
，
解得t=1.8，
②如图所示，当PD⊥AD时，△ADP是直角三角形，
作业帮
此时点P与点C重合，AP=AC=10，
∴t=
10
2
=5，
综上所述，当t=1.8或5秒时，△ADP是直角三角形；

（3）分三种情况：
①如图所示，当PA=PD时，过点P作PE⊥AD于E，则AE=
1
2
AD=3，
作业帮
∵PE∥CD，
∴△APE∽△ACD，
∴
AP
AC
=
AE
AD
，即
2t
10
=
3
6
，
解得t=
5
2
；
②如图所示，当AP=AD时，2t=6，
作业帮
∴t=
6
2
=3；
③如图所示，当AD=PD时，过点D作DF⊥AP于F，则AF=
1
2
AP=t，
作业帮
∵∠A=∠A，∠AFD=∠ADC=90°，
∴△AFD∽△ADC，
∴
AF
AD
=
AD
AC
，即
t
6
=
6
10
，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形．
2t
6
2t62t2t2t666=
6
10
，
解得t=1.8，
②如图所示，当PD⊥AD时，△ADP是直角三角形，
作业帮
此时点P与点C重合，AP=AC=10，
∴t=
10
2
=5，
综上所述，当t=1.8或5秒时，△ADP是直角三角形；

（3）分三种情况：
①如图所示，当PA=PD时，过点P作PE⊥AD于E，则AE=
1
2
AD=3，
作业帮
∵PE∥CD，
∴△APE∽△ACD，
∴
AP
AC
=
AE
AD
，即
2t
10
=
3
6
，
解得t=
5
2
；
②如图所示，当AP=AD时，2t=6，
作业帮
∴t=
6
2
=3；
③如图所示，当AD=PD时，过点D作DF⊥AP于F，则AF=
1
2
AP=t，
作业帮
∵∠A=∠A，∠AFD=∠ADC=90°，
∴△AFD∽△ADC，
∴
AF
AD
=
AD
AC
，即
t
6
=
6
10
，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形．
6
10
610666101010，
解得t=1.8，
②如图所示，当PD⊥AD时，△ADP是直角三角形，
作业帮
此时点P与点C重合，AP=AC=10，
∴t=
10
2
=5，
综上所述，当t=1.8或5秒时，△ADP是直角三角形；

（3）分三种情况：
①如图所示，当PA=PD时，过点P作PE⊥AD于E，则AE=
1
2
AD=3，
作业帮
∵PE∥CD，
∴△APE∽△ACD，
∴
AP
AC
=
AE
AD
，即
2t
10
=
3
6
，
解得t=
5
2
；
②如图所示，当AP=AD时，2t=6，
作业帮
∴t=
6
2
=3；
③如图所示，当AD=PD时，过点D作DF⊥AP于F，则AF=
1
2
AP=t，
作业帮
∵∠A=∠A，∠AFD=∠ADC=90°，
∴△AFD∽△ADC，
∴
AF
AD
=
AD
AC
，即
t
6
=
6
10
，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形．
10
2
102101010222=5，
综上所述，当t=1.8或5秒时，△ADP是直角三角形；

（3）分三种情况：
①如图所示，当PA=PD时，过点P作PE⊥AD于E，则AE=
1
2
AD=3，
作业帮
∵PE∥CD，
∴△APE∽△ACD，
∴
AP
AC
=
AE
AD
，即
2t
10
=
3
6
，
解得t=
5
2
；
②如图所示，当AP=AD时，2t=6，
作业帮
∴t=
6
2
=3；
③如图所示，当AD=PD时，过点D作DF⊥AP于F，则AF=
1
2
AP=t，
作业帮
∵∠A=∠A，∠AFD=∠ADC=90°，
∴△AFD∽△ADC，
∴
AF
AD
=
AD
AC
，即
t
6
=
6
10
，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形．
1
2
12111222AD=3，
作业帮
∵PE∥CD，
∴△APE∽△ACD，
∴
AP
AC
=
AE
AD
，即
2t
10
=
3
6
，
解得t=
5
2
；
②如图所示，当AP=AD时，2t=6，
作业帮
∴t=
6
2
=3；
③如图所示，当AD=PD时，过点D作DF⊥AP于F，则AF=
1
2
AP=t，
作业帮
∵∠A=∠A，∠AFD=∠ADC=90°，
∴△AFD∽△ADC，
∴
AF
AD
=
AD
AC
，即
t
6
=
6
10
，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形．
AP
AC
APACAPAPAPACACAC=
AE
AD
，即
2t
10
=
3
6
，
解得t=
5
2
；
②如图所示，当AP=AD时，2t=6，
作业帮
∴t=
6
2
=3；
③如图所示，当AD=PD时，过点D作DF⊥AP于F，则AF=
1
2
AP=t，
作业帮
∵∠A=∠A，∠AFD=∠ADC=90°，
∴△AFD∽△ADC，
∴
AF
AD
=
AD
AC
，即
t
6
=
6
10
，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形．
AE
AD
AEADAEAEAEADADAD，即
2t
10
=
3
6
，
解得t=
5
2
；
②如图所示，当AP=AD时，2t=6，
作业帮
∴t=
6
2
=3；
③如图所示，当AD=PD时，过点D作DF⊥AP于F，则AF=
1
2
AP=t，
作业帮
∵∠A=∠A，∠AFD=∠ADC=90°，
∴△AFD∽△ADC，
∴
AF
AD
=
AD
AC
，即
t
6
=
6
10
，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形．
2t
10
2t102t2t2t101010=
3
6
，
解得t=
5
2
；
②如图所示，当AP=AD时，2t=6，
作业帮
∴t=
6
2
=3；
③如图所示，当AD=PD时，过点D作DF⊥AP于F，则AF=
1
2
AP=t，
作业帮
∵∠A=∠A，∠AFD=∠ADC=90°，
∴△AFD∽△ADC，
∴
AF
AD
=
AD
AC
，即
t
6
=
6
10
，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形．
3
6
36333666，
解得t=
5
2
；
②如图所示，当AP=AD时，2t=6，
作业帮
∴t=
6
2
=3；
③如图所示，当AD=PD时，过点D作DF⊥AP于F，则AF=
1
2
AP=t，
作业帮
∵∠A=∠A，∠AFD=∠ADC=90°，
∴△AFD∽△ADC，
∴
AF
AD
=
AD
AC
，即
t
6
=
6
10
，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形．
5
2
52555222；
②如图所示，当AP=AD时，2t=6，
作业帮
∴t=
6
2
=3；
③如图所示，当AD=PD时，过点D作DF⊥AP于F，则AF=
1
2
AP=t，
作业帮
∵∠A=∠A，∠AFD=∠ADC=90°，
∴△AFD∽△ADC，
∴
AF
AD
=
AD
AC
，即
t
6
=
6
10
，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形．
6
2
62666222=3；
③如图所示，当AD=PD时，过点D作DF⊥AP于F，则AF=
1
2
AP=t，
作业帮
∵∠A=∠A，∠AFD=∠ADC=90°，
∴△AFD∽△ADC，
∴
AF
AD
=
AD
AC
，即
t
6
=
6
10
，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形．
1
2
12111222AP=t，
作业帮
∵∠A=∠A，∠AFD=∠ADC=90°，
∴△AFD∽△ADC，
∴
AF
AD
=
AD
AC
，即
t
6
=
6
10
，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形．
AF
AD
AFADAFAFAFADADAD=
AD
AC
，即
t
6
=
6
10
，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形．
AD
AC
ADACADADADACACAC，即
t
6
=
6
10
，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形．
t
6
t6ttt666=
6
10
，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形．
6
10
610666101010，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形．
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