如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转n°后得到正方形AEFG，边EF与CD交于点O．（1）以图中已标有字母的点为端点连接两条线段（正方形的对角线除外），要求所连接的两条线段相交且互相垂直，

Question

如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转n°后得到正方形AEFG，边EF与CD交于点O．
（1）以图中已标有字母的点为端点连接两条线段（正方形的对角线除外），要求所连接的两条线段相交且互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由；
（2）若正方形的边长为2cm，若旋转的角度为30°，求重叠部分（四边形AEOD）的面积．
（3）我连接的两条相交且互相垂直的线段是______和______．
理由如下：

Answer 1

（1）连AO，DE，它们相交于P点，如图，
则AO⊥DE．理由如下：
∵AD=AE，AO公共，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO，∴∠DAO=∠EAO，
又AD=AE，
∴AO⊥DE（等腰三角形的“三线合一”）．

（2）若正方形的边长为2cm，若旋转的角度为30°，
即AD=2cm，∠GAD=30°，
∴∠DAE=60°，
由（1）得，∠DAO=∠OAE=30°，
在Rt△ADO中，tan30°=(OD)/(AD)，
则OD=(√(3))/(3)AD=(√(3))/(3)×2=(2√(3))/(3)，
∴S_△ADO=(1)/(2)×2×(2√(3))/(3)=(2√(3))/(3)．
∴S_{四边形AEOD}=2S_△ADO=(4√(3))/(3)．

（3）两条相交且互相垂直的线段是AO和DE．
∵AD=AE，AO公共，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO，
∴PD=PE，
∴AO⊥DE．
故答案为AO，DE． (OD)/(AD)ODODODADADAD，
则OD=(√(3))/(3)AD=(√(3))/(3)×2=(2√(3))/(3)，
∴S_△ADO=(1)/(2)×2×(2√(3))/(3)=(2√(3))/(3)．
∴S_{四边形AEOD}=2S_△ADO=(4√(3))/(3)．

（3）两条相交且互相垂直的线段是AO和DE．
∵AD=AE，AO公共，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO，
∴PD=PE，
∴AO⊥DE．
故答案为AO，DE． (√(3))/(3)√(3)√(3)√(3)

3

33333AD=(√(3))/(3)×2=(2√(3))/(3)，
∴S_△ADO=(1)/(2)×2×(2√(3))/(3)=(2√(3))/(3)．
∴S_{四边形AEOD}=2S_△ADO=(4√(3))/(3)．

（3）两条相交且互相垂直的线段是AO和DE．
∵AD=AE，AO公共，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO，
∴PD=PE，
∴AO⊥DE．
故答案为AO，DE． (√(3))/(3)√(3)√(3)√(3)

3

33333×2=(2√(3))/(3)，
∴S_△ADO=(1)/(2)×2×(2√(3))/(3)=(2√(3))/(3)．
∴S_{四边形AEOD}=2S_△ADO=(4√(3))/(3)．

（3）两条相交且互相垂直的线段是AO和DE．
∵AD=AE，AO公共，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO，
∴PD=PE，
∴AO⊥DE．
故答案为AO，DE． (2√(3))/(3)2√(3)2√(3)2√(3)

3

33333，
∴S_△ADO△ADO=(1)/(2)×2×(2√(3))/(3)=(2√(3))/(3)．
∴S_{四边形AEOD}=2S_△ADO=(4√(3))/(3)．

（3）两条相交且互相垂直的线段是AO和DE．
∵AD=AE，AO公共，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO，
∴PD=PE，
∴AO⊥DE．
故答案为AO，DE． (1)/(2)111222×2×(2√(3))/(3)=(2√(3))/(3)．
∴S_{四边形AEOD}=2S_△ADO=(4√(3))/(3)．

（3）两条相交且互相垂直的线段是AO和DE．
∵AD=AE，AO公共，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO，
∴PD=PE，
∴AO⊥DE．
故答案为AO，DE． (2√(3))/(3)2√(3)2√(3)2√(3)

3

33333=(2√(3))/(3)．
∴S_{四边形AEOD}=2S_△ADO=(4√(3))/(3)．

（3）两条相交且互相垂直的线段是AO和DE．
∵AD=AE，AO公共，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO，
∴PD=PE，
∴AO⊥DE．
故答案为AO，DE． (2√(3))/(3)2√(3)2√(3)2√(3)

3

33333．
∴S_{四边形AEOD}四边形AEOD=2S_△ADO△ADO=(4√(3))/(3)．

（3）两条相交且互相垂直的线段是AO和DE．
∵AD=AE，AO公共，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO，
∴PD=PE，
∴AO⊥DE．
故答案为AO，DE． (4√(3))/(3)4√(3)4√(3)4√(3)

3

33333．

（3）两条相交且互相垂直的线段是AO和DE．
∵AD=AE，AO公共，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO，
∴PD=PE，
∴AO⊥DE．
故答案为AO，DE．