n个面能把三维空间分割成几块rt,最好有推导过程和公式

Question

n个面能把三维空间分割成几块
rt,最好有推导过程和公式

Answer 1

应该是问最多切得的空间个数吧.
（1）一维情况:一条直线上有n个点,显然把这条直线分成n+1段.
(2)二维情况：即考虑平面上n条直线最多分得的平面块数.直线数为零时
有一个面,第k条直线与最多与前k-1条直线都相交,产生k-1 个交点,由（1）得这k-1个交点把这条直线分成k段,每段都使面的块数加1,那么n条直线最多分得的平面块数为1+1+2+3+...+n=(n+1)n/2+1.
（3）三维情况：用N个面切割一个空间,求最多切得的空间的个数.没有面时有一个空间,第k个面与前k-1个面相交产生k-1条交线,把这个面最多分成k(k-1)/2+1个面,每个面新产生一个空间.
故用N个面切割一个空间,切得的空间的个数为：1+1+2+4+7+...+(N(N-1)/2+1)=N+1+(1*2+2*3+3*4+4*5+...+N(N-1))/2
其中1*2+2*3+3*4+.N*(N-1)={1^2+2^2+3^2+.(N-1)^2+N^2}-
{1+2+3+4+.+N-1+N}=(2N+1)(N+1)N/6-N(N+1)/2
带入上式化简得到（N^2-N+6）(N+1)/6