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已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω>0，0<φ<π）是奇函数，直线y=2与函数f（x）的图象的两个相邻交点的距离为π2，则（）A.f（x）在（0，π4）上单调递减B.f（x）在（π8

题目详情

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω>0，0<φ<π）是奇函数，直线y=

2
与函数f（x）的图象的两个相邻交点的距离为
π
2
，则（　　）

A. f（x）在（0，

π
4
）上单调递减

B. f（x）在（

π
8
，
3π
8
）上单调递减

C. f（x）在（0，

π
4
）上单调递增

D. f（x）在（

π
8
，
3π
8
）上单调递增

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω>0，0<φ<π）是奇函数，直线y=

2
与函数f（x）的图象的两个相邻交点的距离为
π
2
，则（　　）

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω>0，0<φ<π）是奇函数，直线y=
2
与函数f（x）的图象的两个相邻交点的距离为
π
2
，则（　　）
2
与函数f（x）的图象的两个相邻交点的距离为
π
2
，则（　　）
2
2
2
2
π
2
，则（　　）
π
2
π2ππ22

A. f（x）在（0，

π
4
）上单调递减

π
4
）上单调递减
π
4
π4ππ44

B. f（x）在（

π
8
，
3π
8
）上单调递减

π
8
，
3π
8
）上单调递减
π
8
π8ππ88
3π
8
）上单调递减
3π
8
3π83π3π88

C. f（x）在（0，

π
4
）上单调递增

π
4
）上单调递增
π
4
π4ππ44

D. f（x）在（

π
8
，
3π
8
）上单调递增

π
8
，
3π
8
）上单调递增
π
8
π8ππ88
3π
8
）上单调递增
3π
8
3π83π3π88
▼优质解答
答案和解析
化简函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=
2
sin（ωx+φ+
π
4
）
∵f（x）是奇函数，
∴φ+
π
4
=kπ，k∈Z．即φ=kπ-
π
4
．
∵0<φ<π
∴φ=
3π
4
．
又∵直线y=
2
与函数f（x）的图象的两个相邻交点的距离为
π
2
，
可得周期T=
π
2
，即
2π
ω
=
π
2
，
∴ω=4．
∴f（x）的解析式为f（x）=
2
sin（4x+
3π
4
），
令2kπ-
π
2
≤4x+
3π
4
≤
π
2
+2kπ，单调递增．
可得：
1
2
kπ-
5π
16
≤x≤-
π
16
+
1
2
kπ，k∈Z．
∴C选项对．D选项不对．
令2kπ+
π
2
≤4x+
3π
4
≤
3π
2
+2kπ，单调递减．
可得：
1
2
kπ-
π
16
≤x≤
3π
16
+
1
2
kπ，k∈Z．
∴A，B选项不对．
故选C．
2
2
2
22sin（ωx+φ+
π
4
）
∵f（x）是奇函数，
∴φ+
π
4
=kπ，k∈Z．即φ=kπ-
π
4
．
∵0<φ<π
∴φ=
3π
4
．
又∵直线y=
2
与函数f（x）的图象的两个相邻交点的距离为
π
2
，
可得周期T=
π
2
，即
2π
ω
=
π
2
，
∴ω=4．
∴f（x）的解析式为f（x）=
2
sin（4x+
3π
4
），
令2kπ-
π
2
≤4x+
3π
4
≤
π
2
+2kπ，单调递增．
可得：
1
2
kπ-
5π
16
≤x≤-
π
16
+
1
2
kπ，k∈Z．
∴C选项对．D选项不对．
令2kπ+
π
2
≤4x+
3π
4
≤
3π
2
+2kπ，单调递减．
可得：
1
2
kπ-
π
16
≤x≤
3π
16
+
1
2
kπ，k∈Z．
∴A，B选项不对．
故选C． +
π
4
π4πππ444）
∵f（x）是奇函数，
∴φ+
π
4
=kπ，k∈Z．即φ=kπ-
π
4
．
∵0<φ<π
∴φ=
3π
4
．
又∵直线y=
2
与函数f（x）的图象的两个相邻交点的距离为
π
2
，
可得周期T=
π
2
，即
2π
ω
=
π
2
，
∴ω=4．
∴f（x）的解析式为f（x）=
2
sin（4x+
3π
4
），
令2kπ-
π
2
≤4x+
3π
4
≤
π
2
+2kπ，单调递增．
可得：
1
2
kπ-
5π
16
≤x≤-
π
16
+
1
2
kπ，k∈Z．
∴C选项对．D选项不对．
令2kπ+
π
2
≤4x+
3π
4
≤
3π
2
+2kπ，单调递减．
可得：
1
2
kπ-
π
16
≤x≤
3π
16
+
1
2
kπ，k∈Z．
∴A，B选项不对．
故选C． +
π
4
π4πππ444=kπ，k∈Z．即φ=kπ-
π
4
．
∵0<φ<π
∴φ=
3π
4
．
又∵直线y=
2
与函数f（x）的图象的两个相邻交点的距离为
π
2
，
可得周期T=
π
2
，即
2π
ω
=
π
2
，
∴ω=4．
∴f（x）的解析式为f（x）=
2
sin（4x+
3π
4
），
令2kπ-
π
2
≤4x+
3π
4
≤
π
2
+2kπ，单调递增．
可得：
1
2
kπ-
5π
16
≤x≤-
π
16
+
1
2
kπ，k∈Z．
∴C选项对．D选项不对．
令2kπ+
π
2
≤4x+
3π
4
≤
3π
2
+2kπ，单调递减．
可得：
1
2
kπ-
π
16
≤x≤
3π
16
+
1
2
kπ，k∈Z．
∴A，B选项不对．
故选C． π-
π
4
π4πππ444．
∵0<φ<π
∴φ=
3π
4
．
又∵直线y=
2
与函数f（x）的图象的两个相邻交点的距离为
π
2
，
可得周期T=
π
2
，即
2π
ω
=
π
2
，
∴ω=4．
∴f（x）的解析式为f（x）=
2
sin（4x+
3π
4
），
令2kπ-
π
2
≤4x+
3π
4
≤
π
2
+2kπ，单调递增．
可得：
1
2
kπ-
5π
16
≤x≤-
π
16
+
1
2
kπ，k∈Z．
∴C选项对．D选项不对．
令2kπ+
π
2
≤4x+
3π
4
≤
3π
2
+2kπ，单调递减．
可得：
1
2
kπ-
π
16
≤x≤
3π
16
+
1
2
kπ，k∈Z．
∴A，B选项不对．
故选C．
3π
4
3π43π3π3π444．
又∵直线y=
2
与函数f（x）的图象的两个相邻交点的距离为
π
2
，
可得周期T=
π
2
，即
2π
ω
=
π
2
，
∴ω=4．
∴f（x）的解析式为f（x）=
2
sin（4x+
3π
4
），
令2kπ-
π
2
≤4x+
3π
4
≤
π
2
+2kπ，单调递增．
可得：
1
2
kπ-
5π
16
≤x≤-
π
16
+
1
2
kπ，k∈Z．
∴C选项对．D选项不对．
令2kπ+
π
2
≤4x+
3π
4
≤
3π
2
+2kπ，单调递减．
可得：
1
2
kπ-
π
16
≤x≤
3π
16
+
1
2
kπ，k∈Z．
∴A，B选项不对．
故选C．
2
2
2
22与函数f（x）的图象的两个相邻交点的距离为
π
2
，
可得周期T=
π
2
，即
2π
ω
=
π
2
，
∴ω=4．
∴f（x）的解析式为f（x）=
2
sin（4x+
3π
4
），
令2kπ-
π
2
≤4x+
3π
4
≤
π
2
+2kπ，单调递增．
可得：
1
2
kπ-
5π
16
≤x≤-
π
16
+
1
2
kπ，k∈Z．
∴C选项对．D选项不对．
令2kπ+
π
2
≤4x+
3π
4
≤
3π
2
+2kπ，单调递减．
可得：
1
2
kπ-
π
16
≤x≤
3π
16
+
1
2
kπ，k∈Z．
∴A，B选项不对．
故选C．
π
2
π2πππ222，
可得周期T=
π
2
，即
2π
ω
=
π
2
，
∴ω=4．
∴f（x）的解析式为f（x）=
2
sin（4x+
3π
4
），
令2kπ-
π
2
≤4x+
3π
4
≤
π
2
+2kπ，单调递增．
可得：
1
2
kπ-
5π
16
≤x≤-
π
16
+
1
2
kπ，k∈Z．
∴C选项对．D选项不对．
令2kπ+
π
2
≤4x+
3π
4
≤
3π
2
+2kπ，单调递减．
可得：
1
2
kπ-
π
16
≤x≤
3π
16
+
1
2
kπ，k∈Z．
∴A，B选项不对．
故选C．
π
2
π2πππ222，即
2π
ω
=
π
2
，
∴ω=4．
∴f（x）的解析式为f（x）=
2
sin（4x+
3π
4
），
令2kπ-
π
2
≤4x+
3π
4
≤
π
2
+2kπ，单调递增．
可得：
1
2
kπ-
5π
16
≤x≤-
π
16
+
1
2
kπ，k∈Z．
∴C选项对．D选项不对．
令2kπ+
π
2
≤4x+
3π
4
≤
3π
2
+2kπ，单调递减．
可得：
1
2
kπ-
π
16
≤x≤
3π
16
+
1
2
kπ，k∈Z．
∴A，B选项不对．
故选C．
2π
ω
2πω2π2π2πωωω=
π
2
π2πππ222，
∴ω=4．
∴f（x）的解析式为f（x）=
2
sin（4x+
3π
4
），
令2kπ-
π
2
≤4x+
3π
4
≤
π
2
+2kπ，单调递增．
可得：
1
2
kπ-
5π
16
≤x≤-
π
16
+
1
2
kπ，k∈Z．
∴C选项对．D选项不对．
令2kπ+
π
2
≤4x+
3π
4
≤
3π
2
+2kπ，单调递减．
可得：
1
2
kπ-
π
16
≤x≤
3π
16
+
1
2
kπ，k∈Z．
∴A，B选项不对．
故选C．
2
2
2
22sin（4x+
3π
4
），
令2kπ-
π
2
≤4x+
3π
4
≤
π
2
+2kπ，单调递增．
可得：
1
2
kπ-
5π
16
≤x≤-
π
16
+
1
2
kπ，k∈Z．
∴C选项对．D选项不对．
令2kπ+
π
2
≤4x+
3π
4
≤
3π
2
+2kπ，单调递减．
可得：
1
2
kπ-
π
16
≤x≤
3π
16
+
1
2
kπ，k∈Z．
∴A，B选项不对．
故选C．
3π
4
3π43π3π3π444），
令2kπ-
π
2
≤4x+
3π
4
≤
π
2
+2kπ，单调递增．
可得：
1
2
kπ-
5π
16
≤x≤-
π
16
+
1
2
kπ，k∈Z．
∴C选项对．D选项不对．
令2kπ+
π
2
≤4x+
3π
4
≤
3π
2
+2kπ，单调递减．
可得：
1
2
kπ-
π
16
≤x≤
3π
16
+
1
2
kπ，k∈Z．
∴A，B选项不对．
故选C． -
π
2
π2πππ222≤4x+
3π
4
≤
π
2
+2kπ，单调递增．
可得：
1
2
kπ-
5π
16
≤x≤-
π
16
+
1
2
kπ，k∈Z．
∴C选项对．D选项不对．
令2kπ+
π
2
≤4x+
3π
4
≤
3π
2
+2kπ，单调递减．
可得：
1
2
kπ-
π
16
≤x≤
3π
16
+
1
2
kπ，k∈Z．
∴A，B选项不对．
故选C．
3π
4
3π43π3π3π444≤
π
2
+2kπ，单调递增．
可得：
1
2
kπ-
5π
16
≤x≤-
π
16
+
1
2
kπ，k∈Z．
∴C选项对．D选项不对．
令2kπ+
π
2
≤4x+
3π
4
≤
3π
2
+2kπ，单调递减．
可得：
1
2
kπ-
π
16
≤x≤
3π
16
+
1
2
kπ，k∈Z．
∴A，B选项不对．
故选C． ≤
π
2
π2πππ222+2kπ，单调递增．
可得：
1
2
kπ-
5π
16
≤x≤-
π
16
+
1
2
kπ，k∈Z．
∴C选项对．D选项不对．
令2kπ+
π
2
≤4x+
3π
4
≤
3π
2
+2kπ，单调递减．
可得：
1
2
kπ-
π
16
≤x≤
3π
16
+
1
2
kπ，k∈Z．
∴A，B选项不对．
故选C．
1
2
12111222kπ-
5π
16
≤x≤-
π
16
+
1
2
kπ，k∈Z．
∴C选项对．D选项不对．
令2kπ+
π
2
≤4x+
3π
4
≤
3π
2
+2kπ，单调递减．
可得：
1
2
kπ-
π
16
≤x≤
3π
16
+
1
2
kπ，k∈Z．
∴A，B选项不对．
故选C． -
5π
16
5π165π5π5π161616≤x≤-
π
16
π16πππ161616+
1
2
kπ，k∈Z．
∴C选项对．D选项不对．
令2kπ+
π
2
≤4x+
3π
4
≤
3π
2
+2kπ，单调递减．
可得：
1
2
kπ-
π
16
≤x≤
3π
16
+
1
2
kπ，k∈Z．
∴A，B选项不对．
故选C．
1
2
12111222kπ，k∈Z．
∴C选项对．D选项不对．
令2kπ+
π
2
≤4x+
3π
4
≤
3π
2
+2kπ，单调递减．
可得：
1
2
kπ-
π
16
≤x≤
3π
16
+
1
2
kπ，k∈Z．
∴A，B选项不对．
故选C．
π
2
π2πππ222≤4x+
3π
4
≤
3π
2
+2kπ，单调递减．
可得：
1
2
kπ-
π
16
≤x≤
3π
16
+
1
2
kπ，k∈Z．
∴A，B选项不对．
故选C．
3π
4
3π43π3π3π444≤
3π
2
+2kπ，单调递减．
可得：
1
2
kπ-
π
16
≤x≤
3π
16
+
1
2
kπ，k∈Z．
∴A，B选项不对．
故选C． ≤
3π
2
3π23π3π3π222+2kπ，单调递减．
可得：
1
2
kπ-
π
16
≤x≤
3π
16
+
1
2
kπ，k∈Z．
∴A，B选项不对．
故选C．
1
2
12111222kπ-
π
16
≤x≤
3π
16
+
1
2
kπ，k∈Z．
∴A，B选项不对．
故选C． -
π
16
π16πππ161616≤x≤
3π
16
3π163π3π3π161616+
1
2
kπ，k∈Z．
∴A，B选项不对．
故选C． +
1
2
12111222kπ，k∈Z．
∴A，B选项不对．
故选C．
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