如何用公式来证明在地球上两个相同体积不同质量的球自由落体的落地时间不一样?

Question

如何用公式来证明【在地球上】两个相同体积不同质量的球自由落体的落地时间不一样?

Answer 1

证：
设：物体1的质量是M、体积是V、加速度是a1、落地所需时间是t1；物体2的质量是m、体积是V、加速度是a2、落地所需时间是t2；两物体释放的高度是h；空气密度是ρ；两物体的初速度均为0.且M＞m
物体1受到的力：向下的重力：Mg；向上的浮力：ρV.物体1受到的合力：Mg-ρV
由牛顿定律,有：Mg-ρV=M(a1),即：a1=(Mg-ρV)/M=g-ρV/M
由于：h=at²/2
所以：t1=√[2h/(a1)]=√[2h/(g-ρV/M)]
同理,有：
t2=√[2h/(g-ρV/m)]
(t1)/(t2)={√[2h/(g-ρV/M)]}/{√[2h/(g-ρV/m)]}
(t1)/(t2)=√{2h(g-ρV/m)/[2h(g-ρV/M)]}
(t1)/(t2)=√[(g-ρV/m)/(g-ρV/M)]
(t1)/(t2)=√{[M(mg-ρV)/[m(Mg-ρV)]}
因为：M≠m
所以：√{[M(mg-ρV)/[m(Mg-ρV)]}≠1
因此：t1≠t2.
证毕.