圆x^2+y^2=4内有一点P(0,1),过P作直角三角形APB,A,B在圆上,角APB=90度,求AB中点M的轨迹方程

Question

圆x^2+y^2=4内有一点P(0,1),过P作直角三角形APB,A,B在圆上,角APB=90度,求AB中点M的轨迹方程

Answer 1

设M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2)
M是AB中点,则 x=(x1+x2)/2
y=(y1+y2)/2
联立得4(x²+y²)=(x1+x2)²+(y1+y2)² ------①
又由于RT△APB,则2MP=AB,
等式两边平方得
4[(x-1)²+y²]=(x2-x1)²+(y2-y1)² ------②
①+②得
4[(x-1)²+y²]+4(x²+y²)=2(x1²+y1²+x2²+y2²)
又A,B在圆上
便得2x²+2y²-2xy-3=0
为M的轨迹方程