奇函数f（x）在R上为减函数，若对任意的实数x，不等式f（kx）+f（-x2+x-2）＞0恒成立，则实数k的取值范围为．

Question

奇函数f（x）在R上为减函数，若对任意的实数x，不等式f（kx）+f（-x²+x-2）＞0恒成立，则实数k的取值范围为______．

Answer 1

∵奇函数f（x）在R上为减函数，
若对任意的x∈（0，1]，不等式f（kx）+f（-x²+x-2）＞0恒成立，
∴f（kx）＞-f（-x²+x-2）
∴f（kx）＞f（x²-x+2）
∴kx＜x²-x+2
∴x²-（1+k）x+2＞0，
∵y=x²-（1+k）x+2开口向上，
∴要使x²-（1+k）x+2＞0恒成立，
只需△=[-（1+k）]²-8＜0，
整理，得k²+2k-7＜0，
解得-2√(2)-1＜k＜2√(2)-1．
∴实数k的取值范围是（−2√(2)−1，2√(2)−1）．
故答案为：（−2√(2)−1，2√(2)−1）．