2011×2012分之1×（1×2+2×3+3×4+···+2011×2012）

Question

2011×2012分之1×（1×2+2×3+3×4+···+2011×2012）

Answer 1

令an=n（n+1)=n²＋n
∴1×2+2×3+3×4+...＋2011×2012
＝1²＋1＋2²＋2＋3²＋3＋……＋2011²＋2011
＝﹙1²＋2²＋3²＋……＋2011²﹚＋﹙1＋2＋3＋……＋2011﹚
＝2011*2012*4023÷6＋2011*2012/2
1/(2011x2012)x(1x2+2x3+3x4+……+2011x2012)
=1/(2011x2012)x[(1²+2²+3²+……+2011²)+(1+2+3+……+2011)]
=1/2011x2012x[2011x(2011+1)(2x2011+1)/6+2011x(1+2011)/2]
=1/2012x(2012x4023/6+2012/2)
=4023/6+1/2
=1341/2+1/2
=671
另一种方法：很明显,这里面最复杂的就是1×2+2×3+3×4+……+2011×2012
首先告诉你,1×2+2×3+3×4+……+n（n+1）=1/3×n（n+1）（n+2）
故括号内为1/3×2011×2012×2013
与前面的相乘就是1/3×2013=671