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现有一个边长为1的正方形,其中一条对角线标记为红色,将这个正方形分割成有限的许多小正方形.求是否有可能所有包含部分红色对角线的小正方形的周长之和大于2010?请简要证明你的判断
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现有一个边长为1的正方形,其中一条对角线标记为红色,将这个正方形分割成有限的许多小正方形.求是否有可能所有包含部分红色对角线的小正方形的周长之和大于2010?请简要证明你的判断
▼优质解答
答案和解析
有可能.
设把正方形分割成n*n个小正方形.当n=1时包含部分红色对角线的小正方形就是1个边长为1的正方形,周长就是4；当n=2时包含部分红色对角线的正方形有2个边长为二分之一小正方形和1个边长为1的正方形；所以这时所有包含部分红色对角线的小正方形的周长之和是2*0.5*4+1*4=2*4=8；……
不难发现当把正方形分割成n*n个小正方形时包含部分红色对角线的正方形有n个边长为n分之一的小正方形、（n-1）个边长为（n-1）分之一的小正方形、（n-2）个边长为（n-2）分之一的小正方形、……、2个边长为二分之一的小正方形和1个边长为1的正方形.周长之和是n*4.当n=503时n*4=2012>2010.
设把正方形分割成n*n个小正方形.当n=1时包含部分红色对角线的小正方形就是1个边长为1的正方形,周长就是4；当n=2时包含部分红色对角线的正方形有2个边长为二分之一小正方形和1个边长为1的正方形；所以这时所有包含部分红色对角线的小正方形的周长之和是2*0.5*4+1*4=2*4=8；……
不难发现当把正方形分割成n*n个小正方形时包含部分红色对角线的正方形有n个边长为n分之一的小正方形、（n-1）个边长为（n-1）分之一的小正方形、（n-2）个边长为（n-2）分之一的小正方形、……、2个边长为二分之一的小正方形和1个边长为1的正方形.周长之和是n*4.当n=503时n*4=2012>2010.
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