2011四川文科数学圆锥曲线第二问

Question

2011四川文科数学圆锥曲线第二问

Answer 1

当直线l与x轴垂直时,题意不符,所以可设直线l的方程是y=kx+1,
从而把它代入椭圆的方程得到（4k^2+1）x^2+8kx=0
从而得到x=0或x=-8/(4k^2+1)
从而求得交点是(0,1),(-8/(4k^2+1),(1-4k^2)/(4k^2+1))
即D点的坐标是(-8/(4k^2+1),(1-4k^2)/(4k^2+1))
从而直线BD的方程是y=[(1-4k^2)/(4k^2+1))/(-8/(4k^2+1)+2)]*(x+2)
化简得到y=(2k+1)/(2-4k)*(x+2).
而直线AC的方程由截矩式得到x/2+y=1,与上式联立方程组得到
x=-4k,y=2k+1
即Q点的坐标是（-4k,2k+1）
而P(-1/k,0),所以向量OP=(-1/k,0),向量OQ=(-4k,2k+1)
所以向量OP*向量OQ=(-1/k)*(-4k)=4,即成立.