设函数f(x)在区间[0,1]上有连续导数,f(0)=1,且满足∫∫Dtf'(x+y)dxdy=∫∫Dtf(t)dxdy,其中Dt={(x,y)|0

Question

设函数f(x)在区间[0,1]上有连续导数,f(0)=1,且满足 ∫ ∫ Dt f'(x+y)dxdy= ∫ ∫ Dt f(t)dxdy,其中Dt={(x,y)|0

Answer 1

不知道你写得有没有错误?
表达式右边是对x,y的积分,被积函数是常数,积分值＝f(t)t^2/2.其中t^/2是Dt的面积.
左边化为累次积分：积分（从0到t）dx积分（从0到t－x）f'(x+y)dt
=积分（从0到t）dx【f(x+y)|上限y＝t－x下限y＝0】
＝积分（从0到t）【f(t)－f(x)】dx＝积分（从0到t）f(t)dx－积分（从0到t）f(x)dx
=tf(t)－积分（从0到t）f(x)dx,因此得到方程
积分（从0到t）f(x)dx=tf(t)－t^2f(t)/2,求导得
(1－t/2)f'(t)=f(t),或者【(1－t/2)^2*f(t)】'＝(1－t/2)*【(1－t/2)f'(t)－f(t)】＝0,故恒有
(1－t/2)^2*f(t)＝f(0)=0,即f(t)=0.