若f(x,y)在(x0,y0)点沿任意方向的方向导数都存在则f(x,y)在(x0,y0)有偏导数这句话哪错了?

Question

若f(x,y)在(x0,y0)点沿任意方向的方向导数都存在 则f(x,y)在(x0,y0)有偏导数
这句话哪错了?

Answer 1

1、这句话作为推论,没有错误.
既然在任何方向的方向导数都存在,自然在x方向上有方向导数,
而在x方向上的方向导数就是在x方向上的偏导存在.
同样地,在y方向,在z方向,方向导数都存在,也就是偏导存在.
2、方向导数是有x方向的偏导,y方向的偏导,z方向的偏导,共同
投影到L方向,这个由x、y、z方向的偏导在L方向的分量的共同
结果,才使得方向导数存在.
综合以上两点,可以得出结论：
A、有偏导是各个方向存在方向导数的必要条件,也就是说,有偏导
存在,不一定有各个方向的方向导数存在；而各个方向的方向导
数存在,则必然有偏导存在.
B、这句话的错误只是形式逻辑的错误,也就是因果关系错了.改成
“既然f(x,y)在(x0,y0)点沿任意方向的方向导数都存在,则f(x,y)在
(x0,y0)的偏导数存在”,就没有逻辑上的问题了.
类似的问题：
若甲会说英文、法文、德文,则甲会说英文.
（这就变成了,必须会说英文、法文、德文,才算会说英文.这显然不合理）
应该改成：
既然甲会说英文、法文、德文,则甲自然会说英文.