已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)若向量AP//向量BC,且|向量AP|=2√14(1)若向量AP//向量BC,且|向量AP|=2√14,求点P的坐标;(2)求以向量AB,向量AC为邻边的平行四边形的面积；

Question

已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)若向量AP//向量BC,且|向量AP|=2√14
(1)若向量AP//向量BC,且|向量AP|=2√14,求点P的坐标;
(2)求以向量AB,向量AC为邻边的平行四边形的面积；

Answer 1

1
BC=(1,-1,5)-(-2,1,6)=(3,-2,-1)
BC的单位向量：BC0=BC/|BC|=(3,-2,-1)/√14
AP∥BC,且：|AP|=2√14
故：AP=±|AP|*BC0
=(6,-4,-2)或(-6,4,2)
令P点(x,y,z)
即：AP=(x,y,z)-(0,2,3)=(x,y-2,z-3)
故：(x,y-2,z-3)=(6,-4,-2)或：
(x,y-2,z-3)=(-6,4,2)
即：P点(6,-2,1)或(-6,6,5)
2
AB=(-2,1,6)-(0,2,3)=(-2,-1,3)
AC=(1,-1,5)-(0,2,3)=(1,-3,2)
| i j k |
AB×AC= | -2 -1 3 |=-2i+3j+6k+k+9i+4j=7i+7j+7k=(7,7,7)
| 1 -3 2 |
以AB,AC为邻边的平行四边形的面积：
S=|AB×AC|=|(7,7,7)|=√(49*3)=7√3