为什么把2个球装入4个盒子的方法个数为C（5,3）=10?更一般地为什么M个球装入N个盒子的不同装法,盒子按顺序排列.为什么方法总数为C（M+N-1,N-1）?烦请高手详细解答下

Question

为什么把2个球装入4个盒子的方法个数为C（5,3）=10 ?更一般地为什么
M个球装入N个盒子的不同装法,盒子按顺序排列. 为什么方法总数为C（M+N-1,N-1）?烦请高手详细解答下

Answer 1

是这样的：我们将M个球依次排好,那么共有M+1个“空”,向这M+1个“空”中插入一个隔板,有M+1种方法；
插入隔板后,算上隔板,共有M+2个“空”,再向这M+2个空中插入一个隔板,有M+2种方法；
.
考虑N-1个隔板.插入第N-1个隔板时,前面已经插入N-2个隔板了,共有M+N-2+1=M+N-1个空,所以第N-1个隔板有M+N-1种插法；
所有考虑起来,向N个球间插入M-1个隔板共有(N+1)*(N+2)*...*(N+M-1)种方法；由于这M-1个隔板样子一致,无法区分,实际上还要除以(N-1)!,因此向M个球间插入N-1个隔板共有(M+1)*(M+2)*...*(M+N-1)/(N-1)!=C(M+N-1,N-1)种方法
由于插入了N-1个隔板,就可以直接按隔板隔开的方式将球放入N个盒子中