如图，点P是直线y=12x+2与双曲线y=kx在第一象限内的一个交点，直线y=12x+2与x轴、y轴的交点分别为A、C，过P作PB垂直于x轴，若AB+PB=9．（1）求k的值；（2）求△PBC的面积．

Question

如图，点P是直线y=(1)/(2)x+2与双曲线y=(k)/(x)在第一象限内的一个交点，直线y=(1)/(2)x+2与x轴、y轴的交点分别为A、C，过P作PB垂直于x轴，若AB+PB=9．

（1）求k的值；
（2）求△PBC的面积．

Answer 1

（1）∵A、C为直线y=(1)/(2)x+2与x轴、y轴的交点，
∴A（-4，0），C（0，2），
设B点坐标为（x，0），∵P是一次函数y=(1)/(2)x+2上的点，PB垂直于x轴，
∴P点坐标为（x，(1)/(2)x+2），
∴AB+PB=|OA|+|OB|+|PB|=4+x+(1)/(2)x+2=(3)/(2)x+6，
∵AB+PB=9，∴(3)/(2)x+6=9，解得，x=2，∴P点坐标为（2，3），
∵P在双曲线y=(k)/(x)上，
∴k=2×3=6．
（2）法1：∵A（-4，0），B（2，0），P（2，3），C（0，2），
∴S_△ABP-S_△ABC=(1)/(2)|AB||BP|-(1)/(2)|AB||OC|
=(1)/(2)|AB|（|BP|-|OC|）=(1)/(2)|-4-2|（3-2）=(1)/(2)×6=3．
∴S_△PBC=3．
法2：S_△PBC=(1)/(2)PB•OB=(1)/(2)×2×3=3．