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求y=x×√(1-x^2)的最大值和最小值.不能用导数.
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求y=x×√(1-x^2)的最大值和最小值.不能用导数.
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答案和解析
y = x×√(1-x^2) 定义域-1≤x≤1
y = √(x^2 - x^4) （当x≥ 0）
或y = -√(x^2 - x^4) （当x≤0）
令t = x^2 （t ≥ 0）
令z = x^2 - x^4 = t - t^2 = -(t-1/2)^2 + 1/4
当 t =1/2 时 z有最大值1/4 ,
此时①若x≥ 0,y也有最大值,y最大=√1/4 =1/2,此时x=√2 / 2
②若x≤ 0 ,y为最小值,y最小 =-√1/4 =-1/2,此时x=-√2 / 2
综上最大值为1/2,最小值为-1/2
y = √(x^2 - x^4) （当x≥ 0）
或y = -√(x^2 - x^4) （当x≤0）
令t = x^2 （t ≥ 0）
令z = x^2 - x^4 = t - t^2 = -(t-1/2)^2 + 1/4
当 t =1/2 时 z有最大值1/4 ,
此时①若x≥ 0,y也有最大值,y最大=√1/4 =1/2,此时x=√2 / 2
②若x≤ 0 ,y为最小值,y最小 =-√1/4 =-1/2,此时x=-√2 / 2
综上最大值为1/2,最小值为-1/2
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