老是我想问个问题：设A为三阶方阵,a11≠0,且aij=λAij,求|A|

Question

老是我想问个问题：设A为三阶方阵,a11≠0,且aij=λAij,求|A|

Answer 1

由已知,λA* = A^T
因为 a11≠0,所以 λ≠0
所以 A* = (1/λ)A^T
由 AA* = |A|E 得 AA^T = λ|A|E
(1) 两边取行列式得 |A|^2 = λ^3 |A|^3
(2) 比较两边矩阵第一行第一列元素得 a11^2+a12^2+a13^2 = λ|A|
由 a11≠0 得 λ|A|≠0
再由(1)得 λ|A| = 1
所以 |A| = 1/λ.
大概思路就是这样,具体计算没仔细,仅供参考