设非空实数集A={-2≤x ≤a},B={ y|y=2x+3,x∈A},C={ z|z=x^2,x∈A},若C⊆B,求实数a的取值范围

Question

设非空实数集A={-2≤x ≤a},B={ y|y=2x+3,x∈A},C={ z|z=x^2,x∈A},若C⊆B,求实数a的取值范围

Answer 1

没有思路时先退回到定义,先明白这道题在说什么.B内元素的含义是,所有A内元素乘二加三之后的结果.C内元素的含义,所有A内元素的平方运算的结果.C包含于B,就是说C中的每一个元素都存在于B中.也就是说,设函数f(x)=2x+3,g(x)=x^2,两个函数的定义域都是A,则g(x)的值域是 f(x)值域的子集.
下面我们的目标很明确：求值域.
因为f(x)是一个在定义域上单调递增的函数,很容易得到,B=[-1,2A+3].而二次函数的值域就需要分类讨论了.我们根据a的取值分三种情况求C.然后想办法使C包含于B（这种题应该做过很多了吧,让C的最小元素大于等于B的最小元素,再让C的最大元素小于等于B的最大元素就可以了）,得出a需满足的条件.最后,因为三种情况中a的范围都符合要求,对它们求并集就可以了.
因为A非空,所以a大于等于-2.由题意,B=[-1,2a+3].
1）当-2小于等于a小于等于0时,C=[a^2,4].得
-2小于等于a小于等于0
a^2大于等于-1
4小于等于（2a+3）
解得a无解.
2）当02
0大于等于-1
a^2小于等于（2a+3）.
解得2小于a小于等于3.
综上,1/2小于等于a小于等于3.即a的取值范围为[1/2,3].
(有些数学符号打不出来,你明白就好.）
以上是最基本的思路过程.如果你熟悉二次函数,考虑到x^2恒大于等于0,就可以知道,无论a取多少,C集合的最小元素一定是大于等于0的,就一定大于-1,所以直接讨论C的最大元素是否小于等于（2a+3）就够了.画出函数g(x)=x^2的图象,可以看出,当-22时,函数的最大值为a^2.这样解法就可以简化为：
因为A非空,所以a大于等于-2.由题意,B=[-1,2a+3].
又x^2大于等于0>1.
1）当-22
a^2小于等于(2a+3).
解得2