设函数f(x)=x|x-a|+b 求证:f(x)为奇函数的充要条件是a^2+b^2=0

Question

设函数f(x)=x|x-a|+b 求证:f(x)为奇函数的充要条件是a^2+b^2=0

Answer 1

f(x)=x|x-a|+b 是奇函数时 f(0)=0; 所以 b=0;
x不等于0时 f(x)=-f(-x)---》x|x-a|=x|-x-a|
因为x不等于0--->|x-a|=|x+a|-->|x-a|^2=|x+a|^2
-->x^2-2ax+a^2=x^2+a^2+2ax
--->4ax=0;因为x不等于0 所以 a=0
所以f(x)=x|x-a|+b为奇函数时 a^2+b^2=0
当a^2+b^2=0时 a=b=0
所以f(x)=x|x-a|+b=x|x|
f(x)=x|x|=-(-x|x|)=-(-x|-x|)=-f(-x);
所以a^2+b^2=0 时 f(x)=x|x-a|+b为奇函数
f(x)为奇函数的充要条件是a^2+b^2=0