已知abc是三个不全相等的正数,求证:(b+c)/a+(a+c)/b+(a+b)/c

Question

已知abc是三个不全相等的正数,求证:(b+c)/a+(a+c)/b+(a+b)/c

Answer 1

证明：(b+c)/a+(a+c)/b+(a+b)/c =
b/a+c/a+a/b+c/b+a/c+b/c=
(b/a+a/b) + (c/a+a/c) +(c/b+b/c)
而 当 a＞0,b＞0,c＞0时
b/a+a/b ≥ 2√b/a*a/b =2；
c/a+a/c ≥ 2√c/a*a/c =2；
c/b+b/c ≥ 2√c/b*b/c =2；
所以原式 ≥ 6；当且仅当a=b=c时等号成立；
又 a,b,c不全相等,所以原式 ＞6.