若矩阵A正定,证明A可逆并且A-1也正定

Question

若矩阵A正定,证明A可逆并且A-1也正定

Answer 1

证明: 因为矩阵A正定, 所以A的所有顺序主子式都大于0, 特别有 |A|>0. 故A可逆.
又由A正定, 所以A是对称矩阵, A'=A.
所以 (A^-1)' = (A')^-1 = A^-1. 故A是对称矩阵.
再由A正定, 存在可逆矩阵C使得 C'AC = E.
等式两边取逆得 C^-1A^-1(C')^-1 = ((C^-1)')'A^-1(C^-1)'=E.
即A^-1合同与单位矩阵
故A^-1是正定矩阵.
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