求证Cn(1)+2Cn(2)+3Cn(3)...+nCn(n)=n*2^(n-1)rt.

Question

求证Cn(1)+2Cn(2)+3Cn(3)...+nCn(n)=n*2^(n-1)
rt.

Answer 1

令Sn=1*nC1+2*nC2+3*nC3+……+n*nCn
Sn=1*nC1+2*nC2+3*nC3+……+n*nCn……①
因为nCm=nC(n-m)
Sn=1*nC(n-1)+2*nC(n-2)+3*nC(n-3)+……+(n-1)*nC1+n*nC0……②
①+② 2Sn=n*(nC1+nC2+……+nC(n-1))+n*nCn+n*nC0
因为nC0+nC1+nC2+……+nCn=(1+1)^n=2^n
所以 2Sn=n*(nC0+nC1+nC2+……+nC(n-1)+nCn-nC0-nCn)+n*nCn+n*nC0
2Sn=n*(2^n-2)+n+n
Sn=n*2^(n-1)