一道圆和直线的问题X的平方+Y的平方-2X+4Y-4=0,问是否存在斜率为1的直线L,使L被圆C截得的弦AB,已AB为直径的圆过原点.注意：不要用向量做,我看不懂……注意是圆系方程

Question

一道圆和直线的问题
X的平方+Y的平方-2X+4Y-4=0,问是否存在斜率为1的直线L,使L被圆C截得的弦AB,已AB为直径的圆过原点.
注意：不要用向量做,我看不懂……
注意是圆系方程

Answer 1

首先理解几何意义
AB是直径,且O在该圆上
那么三角形ABO为直角三角形
角AOB是直角
也就是直线AO的斜率和BO的斜率的乘积为-1
那么下面就好处理了
设直线的方程为y=x+b
代入圆的方程,整理一下得到
2x²+2(b+1)x+b²+4b-4=0
首先用判别式限定b的取值范围
4(b+1)²-8(b²+4b-4)>0
然后用韦达定理得到：
x1+x2=-(b+1)
x1x2=0.5×(b²+4b-4)
然后得到
y1+y2=x1+b+x2+b=b-1
y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b²
那么AO、BO的斜率分别是：k1=y1/x1、k2=y2/x2
于是得到k1×k2=-1
y1y2/x1x2=-1
代入即可得到结果
b=1
具体计算过程略