如图1,在正方形ABCD中,M是BC边上任意一点,P是BC延长线上一点,N是角DCP的平分线一点.若角AMN=90°,求

Question

如图1,在正方形ABCD中,M是BC边上任意一点,P是BC延长线上一点,N是角DCP的平分线一点.若角AMN=90°,求

Answer 1

（1）由题中条件可得∠AEM=∠MCN=135°,再由两角夹一边即可判定三角形全等；
（2）还是利用两角夹一边证明其全等,证明方法同（1）．（1）∵AE=MC,
∴BE=BM,
∴∠BEM=∠EMB=45°,
∴∠AEM=135°,
∵CN平分∠DCP,
∴∠PCN=45°,
∴∠AEM=∠MCN=135°
在△AEM和△MCN中：
∵ {∠AEM=∠MCNAE=MC∠EAM=∠CMN
∴△AEM≌△MCN,
∴AM=MN；
（2）仍然成立．
在边AB上截取AE=MC,连接ME,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠B=∠ACB=60°,
∴∠ACP=120°,
∵AE=MC,
∴BE=BM,
∴∠BEM=∠EMB=60°,
∴∠AEM=120°,
∵CN平分∠ACP,
∴∠PCN=60°,
∴∠AEM=∠MCN=120°,
∵∠CMN=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠BAM,
∴△AEM≌△MCN,
∴AM=MN．