已知向量a=(x,y)与向量v=(x+2y,tanx/2·tany)的对应关系已知向量u=(x,y)与向量v=(x+2y,tanx/2tany)的对应关系可用v=f(u)表示,试问是否存在向量m=(α,β）（α,β∈（0,π/2）使得f(m)=(2π/3,2-根号3）成立?如果

Question

已知向量a=(x,y)与向量v=(x+2y,tanx/2·tany)的对应关系
已知向量u=(x,y)与向量v=(x+2y,tanx/2 tany)的对应关系可用v=f(u)表示,试问是否存在向量m=(α,β）（α,β∈（0,π/2） 使得f(m)=(2π/3,2-根号3）成立?如果存在,求出向量m；如果不存在,请说明理由

Answer 1

f(m)=(2π/3,2-√3)
即：α+2β=2π/3
tan(α/2)tanβ=2-√3
即：tan(π/3-β)tanβ=2-√3
即：(√3-tanβ)tanβ/(1+√3tanβ)=2-√3,令t=tanβ
则：t^2+(√3-3)t+2-√3=(t-1)(t+√3-2)=0
即：t=1或t=2-√3
故：tanβ=1,即：β=π/4,α=π/6
tanβ=2-√3,即：β=π/12,α=π/2,不合题意,舍去
即：m=(π/6,π/4)