你知道古代数学家怎样解一元二次方程吗？以x2-2x-3=0为例，大致过程如下：第一步：将原方程变形为x2-2x=3，即x（x-2）=3．第二步：构造一个长为x，宽为（x-2）的长方形，长比宽大2，且面积

Question

你知道古代数学家怎样解一元二次方程吗？以x²-2x-3=0为例，大致过程如下：
第一步：将原方程变形为x²-2x=3，即x（x-2）=3．
第二步：构造一个长为x，宽为（x-2）的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图1所示．
第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图2所示．
第四步：计算大正方形面积用x表示为___．
由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程___，两边开方可求得：x₁=3，x₂=-1．

（1）第四步中横线上应填入___；___．
（2）请参考古人的思考过程，解方程x²-x-1=0．

Answer 1

（1）∵大正方形的边长是[x+（x-2）]，
∴大正方形面积是：[x+（x-2）]²=（2x-2）²；
∵小正方形的边长是：[x+（x-2）]-2（x-2）=2，长方形的面积为3
又∵大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，
∴（2x-2）²=4×3+2²=16；
故答案为：（2x-2）²；（2x-2）²=4×3+2²；

（2）第一步：将原方程变形为x²-x=1，即x（x-1）=1．
第二步：构造一个长为x，宽为（x-1）的长方形，长比宽大1，且面积为1．
第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形．
第四步：计算大正方形面积用x表示为[x+（x+1）]²．
由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程[x+（x-1）]²=4×1+1²，两边开方可求得：x₁=(1+√(5))/(2)，x₂=(1-√(5))/(2)．