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已知正项数列{An}的的首项A1=1/3,且A(n+1)=(An)/(2An+1)(n∈正N),正项数列和为Sn且2√Sn=Bn+1(n∈正N)设f(n)=49an+bn,求f(n)的最小值
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已知正项数列{An}的的首项A1=1/3,且A(n+1)=(An)/(2An +1)(n∈正N),正项数列和为Sn且2√Sn =Bn +1 (n∈正N)
设f(n)=49an+bn,求f(n)的最小值
设f(n)=49an+bn,求f(n)的最小值
▼优质解答
答案和解析
(1)Ⅰ∵{An}是正项数列
∴A(n+1)=(An)/(2An +1)
可变形为
1/A(n+1)=(2An +1)/(An)
1/A(n+1)-1/(An)=2
故{1/An}是以3为首项,公差为2的正项等差数列,即1/An=2n+1
(2)
2√Sn =Bn +1
平方4sn=(Bn+1)^2
4s(n-1)=[B(n-1)+1]^2
相减4Bn=(Bn+1)^2)-[B(n-1)+1]^2
(Bn+B(n-1))[Bn-B(n-1)-2]=0
正项数列{Bn}
Bn-B(n-1)-2=0,得{Bn}是一个等差数列.
2√Sn =Bn +1 ,n=1得B1=1
即:Bn=2n-1
(2)f(n)=49An+Bn
=49/(2n+1)+ (2n+1)- 2
≥2√49 - 2
=12
当且仅当 49/(2n+1)=(2n+1),即n=3时,f(n)的最小值,最小为12.
∴A(n+1)=(An)/(2An +1)
可变形为
1/A(n+1)=(2An +1)/(An)
1/A(n+1)-1/(An)=2
故{1/An}是以3为首项,公差为2的正项等差数列,即1/An=2n+1
(2)
2√Sn =Bn +1
平方4sn=(Bn+1)^2
4s(n-1)=[B(n-1)+1]^2
相减4Bn=(Bn+1)^2)-[B(n-1)+1]^2
(Bn+B(n-1))[Bn-B(n-1)-2]=0
正项数列{Bn}
Bn-B(n-1)-2=0,得{Bn}是一个等差数列.
2√Sn =Bn +1 ,n=1得B1=1
即:Bn=2n-1
(2)f(n)=49An+Bn
=49/(2n+1)+ (2n+1)- 2
≥2√49 - 2
=12
当且仅当 49/(2n+1)=(2n+1),即n=3时,f(n)的最小值,最小为12.
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