某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后第年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储备金数目a1，a2，…是一个公差

Question

某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a ₁ ，以后第年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储备金数目a ₁ ，a ₂ ，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利，这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a ₁ （1+r） ^n-1 ，第二年所交纳的储备金就变为a ₂ （1+r） ^n-2 ，……，以T _n 表示到第n年末所累计的储备金总额。
（1）写出T _n 与T _n-1 （n≥2）的递推关系式；
（Ⅱ）求证：T _n =A _n +B _n ，其中{A _n }是一个等比数列，{B _n }是一个等差数列。

Answer 1

（1）我们有 。
（2） ，对 反复使用上述关系式，得
，
 ①
在①式两端同乘 ，得
②
②-①，得


即
如果记 ， ，
则
其中 是以 为首项，以 为公比的等比数列；
是以 为首项， 为公差的等差数列。