（2013•江西三模）如图所示，质量为m、带电量为q的离子沿垂直于磁场方向射入磁感应强度为B0的匀强磁场中．在垂直穿过图中标号为0的薄板后，圆运动的半径减小为原来的1k（k＞1），此薄

Question

（2013•江西三模）如图所示，质量为m、带电量为q的离子沿垂直于磁场方向射入磁感应强度为B₀的匀强磁场中．在垂直穿过图中标号为0的薄板后，圆运动的半径减小为原来的(1)/(k)（k＞1），此薄板的厚度为d₀．以后它又将连续垂直穿过标号为1、2、3、…等同样材料的薄板（各板间均有与B₀方向相同的匀强磁场且离子在穿过薄板时受到的阻力大小相等），并且要求每穿过一板后的速度为穿过前的(1)/(k)，而圆运动的半径保持不变．这就需要各板厚度不同和各相邻两板间的磁场的磁感应强度不同．运动中离子电量保持不变，各薄板平面均通过圆心O，板间夹角均为θ，θ＜(π)/(20)．求：
（1）求(B0)/(B1)；
（2）第2块薄板厚度；
（3）离子在第0块到第10块薄板间磁场中运动的时间（离子穿过板的时间可忽略不计）．

Answer 1

（1）设离子在穿过0板前的速率为v₀，圆运动半径为r₀，刚穿过后为v，圆运动半径为r；刚穿过1、2、3…后的速率分别为v₁、v₂、v₃…；
板1与板2、板2与板3…之间的磁场的磁感应强度分别为B₁、B₂…，
由洛伦兹力和向心力公式，可得：qv₀B₀=m(v02)/(r0)
(r)/(r0)=(1)/(k)
解得：v=(rv0)/(r0)=（(1)/(k)）v₀，
根据题意：v₁=(1)/(k)v=（(1)/(k)）²v₀
v₂=(1)/(k)v₁=（(1)/(k)）³v₀
依题意知：r=(mv)/(qB0)=(mv1)/(qB1)
可得：(B0)/(B1)=k
（2）由动能定理，设离子受到的阻力为f，对穿过0、1、2块薄板的过程分别有：

W0＝fd0＝(1)/(2)m

v

2 0

−(1)/(2)mv2＝m

v

2 0

•((k2−1)/(2k2))

W1＝fd1＝(1)/(2)mv2−(1)/(2)m

v

2 1

＝m

v

2 0

•((1)/(k))2•((k2−1)/(2k2))

W2＝fd2＝(1)/(2)m

v

2 1

−(1)/(2)m

v

2 2

＝m

v

2 0

•((1)/(k))2×2((k2−1)/(2k2))

故可得：d2＝((1)/(k))4d0．     
（3）设离子在板0与板1、板1与板2、…之间运动的时间分别为t₁、t₂、…，则在0到第10块之间运动的总时间：t=t₁+t₂+…+t₁₀
由周期公式 T＝(2πm)/(qB)
可得：tn＝(2πm)/(qBn−1)((θ)/(2π))＝(mθ)/(qBn−1)
又由洛仑兹力公式和向心力公式有：qvnBn＝m(v2n)/(r)，qvB0＝m(v2)/(r)，(Bn)/(B0)＝(vn)/(v)＝(((1)/(k))n+1v0)/(((1)/(k))v0)，Bn＝((1)/(k))nB0
可解得：

t＝(mθ)/(qB0)[1+k+k2+…+k9]

＝(mθ)/(qB0)×(k10−1)/(k−1)

答：（1）(B0)/(B1)为k；
（2）第2块薄板厚度  d2＝((1)/(k))4d0；
（3）离子在第0块到第10块薄板间磁场中运动的时(mθ)/(qB0)(k10−1)/(k−1)．