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(2011•无锡)如图,已知O(0,0)、A(4,0)、B(4,3).动点P从O点出发,以每秒3个单位的速度,沿△OAB的边0A、AB、B0作匀速运动;动直线l从AB位置出发,以每秒1个单位的速度向x轴负方
题目详情
(2011•无锡)如图,已知O(0,0)、A(4,0)、B(4,3).动点P从O点出发,以每秒3个单位的速度,沿△OAB的边0A、AB、B0作匀速运动;动直线l从AB位置出发,以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动.若它们同时出发,运动的时间为t秒,当点P运动到O时,它们都停止运动.
(1)当P在线段OA上运动时,求直线l与以P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围;
(2)当P在线段AB上运动时,设直线l分别与OA、OB交于C、D,试问:四边形CPBD是否可能为菱形?若能,求出此时t的值;若不能,请说明理由,并说明如何改变直线l的出发时间,使得四边形CPBD会是菱形.
(1)当P在线段OA上运动时,求直线l与以P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围;
(2)当P在线段AB上运动时,设直线l分别与OA、OB交于C、D,试问:四边形CPBD是否可能为菱形?若能,求出此时t的值;若不能,请说明理由,并说明如何改变直线l的出发时间,使得四边形CPBD会是菱形.
▼优质解答
答案和解析
(1)当P在线段OA上运动时,OP=3t,AC=t,
⊙P与直线l相交时,
,
解得
<t<
;
(2)四边形CPBD不可能为菱形.
依题意,得AC=t,OC=4-t,PA=3t-4,PB=7-3t,
∵CD∥AB,
∴
=
,即
=
,
解得CD=
(4-t),
由菱形的性质,得CD=PB,
即
(4-t)=7-3t,
解得t=
,
又当四边形CPBD为菱形时,PC=PB=7-3t,当t=
时,
代入PA2+AC2=(3t-4)2+t2=
,PC2=(7-3t)2=
,
∴PA2+AC2≠PC2,就不能构成菱形.
设直线l比P点迟a秒出发,则AC=t-a,OC=4-t+a,
由CD∥AB,得CD=
(4-t+a),由CD=PB,得
(4-t+a)=7-3t,
解得t=
,
PC∥OB,PC=CD,得
=
,即AB•PC=OB•AP,
3×
(4-t+a)=5×(3t-4),
解得t=
,
则<
⊙P与直线l相交时,
|
解得
3 |
4 |
5 |
4 |
(2)四边形CPBD不可能为菱形.
依题意,得AC=t,OC=4-t,PA=3t-4,PB=7-3t,
∵CD∥AB,
∴
CD |
AB |
OC |
OA |
CD |
3 |
4−t |
4 |
解得CD=
3 |
4 |
由菱形的性质,得CD=PB,
即
3 |
4 |
解得t=
16 |
9 |
又当四边形CPBD为菱形时,PC=PB=7-3t,当t=
16 |
9 |
代入PA2+AC2=(3t-4)2+t2=
400 |
81 |
25 |
9 |
∴PA2+AC2≠PC2,就不能构成菱形.
设直线l比P点迟a秒出发,则AC=t-a,OC=4-t+a,
由CD∥AB,得CD=
3 |
4 |
3 |
4 |
解得t=
16−3a |
9 |
PC∥OB,PC=CD,得
PC |
OB |
AP |
AB |
3×
3 |
4 |
解得t=
9a+116 |
69 |
则
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