已知数列{an}满足3an+1+an=4（n≥1）且a1=9，前n项和为Sn，则满足|Sn−n−6|＜1125的最小整数n是．

Question

已知数列{a_n}满足3a_n+1+a_n=4（n≥1）且a₁=9，前n项和为S_n，则满足|Sn−n−6|＜(1)/(125)的最小整数n是______．

Answer 1

对3a_n+1+a_n=4（n≥1）变形得：
3[a_n+1-1]=-（a_n-1），
(an+1)/(an)＝−(1)/(3)，
a_n=8×（-(1)/(3)）^（n-1）+1，
S_n=8{1+（-(1)/(3)）+（-(1)/(3)）²+…+（-(1)/(3)）^（n-1）]+n
=6-6×（-(1)/(3)）ⁿ+n，
|S_n-n-6|=|-6×（-(1)/(3)）ⁿ|＜(1)/(125)．
故：n=7．
故答案为：7．