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(1998•黄冈)如图,⊙O是△ABC的外接圆,BC是直径,以顶点A为圆心,AB长为半径的圆交⊙O于F点,交BC于G点(AB<OB).AD⊥BC于D,AD与BF交于E点,OF交⊙A于H点.求证:(1)△ABE是等腰三角形
题目详情
(1998•黄冈)如图,⊙O是△ABC的外接圆,BC是直径,以顶点A为圆心,AB长为半径的圆交⊙O于F点,交BC于G点(AB<OB).AD⊥BC于D,AD与BF交于E点,OF交⊙A于H点.求证:
(1)△ABE是等腰三角形;
(2)
=
.
(1)△ABE是等腰三角形;
(2)
FH |
2AE |
BF |
BC |
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:连接AF,作⊙O,
∵BC为⊙O直径,AD⊥BC,
∴弧AB=弧BM,
∴∠BAD=∠ACB,
∵AF=AB,
∴弧AF=弧AB,
∴∠AFB=∠ACB=∠ABD,
∴∠BAE=∠ABD,
∴AE=BE,
∴△ABE是等腰三角形;
(2)证明:连接AG、AF,FC,
∵AB=AF,OB=OF,
∴∠ABF=∠AFB,∠OBF=∠OFB,
∴∠ABF+∠OBF=∠AFE+∠OFB,
∴∠ABO=∠AFO,
∵AB=AG,AF=AH,
∴∠ABG=∠AGB=∠AFH=∠AHF,
∴由三角形内角和定理得:∠FAH=∠BAG,
在△BAG和△FAH中
∴△BAG≌△FAH(SAS),
∴BG=FH,
∵AB=AG,AD⊥BG,
∴BG=FH=2BD=2GD,
∵BC是⊙O直径,AD⊥BC,
∴∠BDE=∠BFC=90°,
∵∠EBD=∠FBC,
∴△BDE∽△BFC,
∴
=
,
∵BE=AE,BH=2BD,
∴
=
=
.
∵BC为⊙O直径,AD⊥BC,
∴弧AB=弧BM,
∴∠BAD=∠ACB,
∵AF=AB,
∴弧AF=弧AB,
∴∠AFB=∠ACB=∠ABD,
∴∠BAE=∠ABD,
∴AE=BE,
∴△ABE是等腰三角形;
(2)证明:连接AG、AF,FC,
∵AB=AF,OB=OF,
∴∠ABF=∠AFB,∠OBF=∠OFB,
∴∠ABF+∠OBF=∠AFE+∠OFB,
∴∠ABO=∠AFO,
∵AB=AG,AF=AH,
∴∠ABG=∠AGB=∠AFH=∠AHF,
∴由三角形内角和定理得:∠FAH=∠BAG,
在△BAG和△FAH中
|
∴△BAG≌△FAH(SAS),
∴BG=FH,
∵AB=AG,AD⊥BG,
∴BG=FH=2BD=2GD,
∵BC是⊙O直径,AD⊥BC,
∴∠BDE=∠BFC=90°,
∵∠EBD=∠FBC,
∴△BDE∽△BFC,
∴
BF |
BC |
BD |
BE |
∵BE=AE,BH=2BD,
∴
BF |
BC |
| ||
AE |
FH |
2AE |
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