设非齐次线性方程组AX=b有3个线性无关的解a1,a2,a3则a2-a1,a3-a1是导出组AX=0的两个线性无关的解.

Question

设非齐次线性方程组AX=b有3个线性无关的解 a1,a2,a3 则 a2-a1,a3-a1 是导出组 AX=0 的两个线性无关的解.

Answer 1

首先,非齐次线性方程组的解的差是其导出组的解
所以 a2-a1,a3-a1 是导出组 AX=0 的解.
设 k1(a2-a1)+k2(a3-a1) = 0
则 (-k1-k2)a1+k1a2+k2a3 = 0
因为 a1,a2,a3 线性无关
所以 -k1-k2 = k1=k2 = 0
即有 k1=k2=0
所以 a2-a1,a3-a1 线性无关.
故 a2-a1,a3-a1 是导出组 AX=0 的两个线性无关的解.
另:" 为什么不是a2-a1,a3-a1 ,a2-a3,是对应AX=0的三个相性无关的解?"
这3个向量线性相关:
- (a1-a2) + (a3-a1) + (a2-a3) = 0
一般情况是:若 a1,...,as 线性无关,则 as-a1,as-a2,...,as-as-1 线性无关