微分几何能不能计算一个曲面展成平面后的形状?

Question

微分几何能不能计算一个曲面展成平面后的形状?

Answer 1

你的意思是,有一个可展曲面S,另外有配备标准度量的平面,R^2,假如有一个等距映射
f：S----> R^2,
或者如果需要把S沿着一条线L剪开的话,
f：S-L -------> R^2,
问f的像集是什么形状,是吧.
你可以想象一下S是圆柱面的情形,如果你剪开的话,那个形状是取决于你沿着什么线剪开的,剪法不同,形状也不同.当然如果你让f的像集在R^2里延伸的话,那么就成为整个R^2,这一点,你可以反过来看,把柱面S看成是R^2“卷”成的,也就是有一个局部等距的覆盖映射：
p：R^2 -----> S
(x,y) |--------> (x, y mod 1)
大概就是这样.