初三几何几何达人进!题目是这样的：如图,直线l经过⊙O,且交于A、B两点,点C在⊙O上,且∠AOC=30°,点P是直线l上的动点（与圆心O不重合）,直线CP与⊙O相交于点Q.问是否存在点P,使得QP=QO,若存

Answer 1

对不起,由于本人能力有限,无法由几何法入手,用了高中知识解决的,并且书写困难,所以就简略了点,望见谅!
以O为原点,AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立之间坐标系xOy.
设圆的半径R=2,则C（√3,1）.
设P（x,0）,Q（x1,y1）,
则 向量PQ=（x1-x,y1）,向量OQ=（x1,x2）,向量CQ=（x1-√3,y1-1）,
而|PQ|=√((x1-x)^2+y1^2）=|OQ|=√(x1^2+y1^2),
∴x=2x1,或x=0,
当x=0时,P与O重合,舍去.
又 C、P、Q在同一直线上,
∴向量CQ=k向量PQ,
∴（x1-√3,y1-1）=k（x1-x,y1）,
∴x1=x/2,y1=x/（2（x-√3））,
又 Q在圆上,
∴（x/2）^2+(x/（2*（x-√3））)^2=4,
∴x^4-2*√3x^3-12x^2+32√3x-48=0,
∴(x-2√3)(x^3-12x+8√3)=0,
∴x=2√3 或 x^3-12x+8√3=0,
当 x=2√3时,Q与C重合,舍去.（如果这点算的话,就有4个点符合.至于取舍就看你了.）
令 f(x)=x^3-12x+8√3,
而f(1)>0,f(2)0,f(-3)>0,f(-4)