f(x)在(a,b)可导,c∈(a,b),当x≠c时f"(x)>0,f"(c)=0,试证y如题,f(x)在(a,b)可导,c∈(a,b),当x≠c时f"(x)>0,f"(c)=0,试证y=f(x)在开区间（a,b）严格单调递增,

Question

f(x)在(a,b)可导,c∈(a,b),当x≠c时f'(x)>0,f'(c)=0,试证y
如题,f(x)在(a,b)可导,c∈(a,b),当x≠c时f'(x)>0,f'(c)=0,试证y=f(x)在开区间（a,b）严格单调递增,

Answer 1

对任意x>y 且xy属于(a,b)
有中值定理可知f(x)-f(y)=f`(ξ)(x-y)
当ξ≠c 时那么结论自然成立 下面假设存在x,y使得ξ=c c∈(y,x)
那么f(x)=f(y)
对(c,x)用中值定理 有f(x)-f(c)=f`(ξ1)(x-c)>0
(y,c)用中值定理 有f(y)-f(c)=f`(ξ2)(y-c)<0
这与f(x)=f(y)矛盾