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在直角坐标系xoy中,点m到点F1(-根号3,0),F2(根号3,0)的距离之和是4,点M的轨迹C与x轴的负半轴交于点A,不过A的的直线l:y=kx+b与轨迹C交于不同的两点P和Q.1.求C轨迹2.向量AP*向量AQ=0时,求k与b的关系,
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在直角坐标系xoy中,点m到点F1(-根号3,0),F2(根号3,0)的距离之和是4,点M的轨迹C与x轴的负半轴交于点A,不过A的的直线l:y=kx+b与轨迹C交于不同的两点P和Q.
1.求C轨迹
2.向量AP*向量AQ=0时,求k与b的关系,证明l过定点.(重点讲这个)
1.求C轨迹
2.向量AP*向量AQ=0时,求k与b的关系,证明l过定点.(重点讲这个)
▼优质解答
答案和解析
1、依题意,C的轨迹是椭圆,c=根号3,2a=4,
∴b=1
∴C的轨迹方程为x²/4 +y²=0;
2、依题意可得 点A (-2,0),设P(x1,y1),Q(x2,y2)
则联立方程得x²/4 +y²=0;y=kx+b
代人得 (4k²+1)x²+8bx+4b²-4=0
∴x1+x2=-8b/4k²+1; x1×x2=4b²-4/4k²+1
∴y1×y2=(kx1+b)×(kx2+b)=k²x1x2+kb(x1+x2)+b²
∵向量AP=(x1+2,y1),向量AQ(x2+2y2)
.∵量AP*向量AQ=0
即(x1+2,y1)*(x2+2,y2)=0
∴(x1+2)*(x2+2)+y1*y2=0
∴x1*x2+2(x1+x2)+4+k²x1x2+kb(x1+x2)+b²=0
整理得:12k²-16kb+5 b²=0
∴(2k-b)(6k-5b)=0
∴k=1/2b,或k=5/6b
因此直线为y=1/2bx+b或y=5/6bx+b
①当y=1/2bx+b时,直线过定点(-2,0)
①当y=5/6bx+b时,直线过定点(-6/5,0)
∴b=1
∴C的轨迹方程为x²/4 +y²=0;
2、依题意可得 点A (-2,0),设P(x1,y1),Q(x2,y2)
则联立方程得x²/4 +y²=0;y=kx+b
代人得 (4k²+1)x²+8bx+4b²-4=0
∴x1+x2=-8b/4k²+1; x1×x2=4b²-4/4k²+1
∴y1×y2=(kx1+b)×(kx2+b)=k²x1x2+kb(x1+x2)+b²
∵向量AP=(x1+2,y1),向量AQ(x2+2y2)
.∵量AP*向量AQ=0
即(x1+2,y1)*(x2+2,y2)=0
∴(x1+2)*(x2+2)+y1*y2=0
∴x1*x2+2(x1+x2)+4+k²x1x2+kb(x1+x2)+b²=0
整理得:12k²-16kb+5 b²=0
∴(2k-b)(6k-5b)=0
∴k=1/2b,或k=5/6b
因此直线为y=1/2bx+b或y=5/6bx+b
①当y=1/2bx+b时,直线过定点(-2,0)
①当y=5/6bx+b时,直线过定点(-6/5,0)
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