在平面直角坐标系中,已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A,B（点A在点B的左侧）,与y轴的正半轴交与点（1）若b=2,c=3,求此时抛物线顶点的坐标（2）将（1）的抛物线向下平移,若平移后,在四边形

Question

在平面直角坐标系中,已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A,B（点A在点B的左侧）,与y轴的正半轴交与点
（1）若b=2,c=3,求此时抛物线顶点的坐标
（2）将（1）的抛物线向下平移,若平移后,在四边形ABCD中满足S△BCE=S△ABC,求此时直线BC的解析式
（3）将（1）中的抛物线做适当的平移,若平移后,在四边形ABEC中满足S△BCE=2S△AOC,且顶点E恰好落在直线y=-4x+3上,求此时抛物线的解析式

Answer 1

（1）已知了b、c的值,即可确定抛物线的解析式,通过配方或用公式法即可求出其顶点E的坐标；
（2）在抛物线向下平移的过程中,抛物线的形状没有发生变化,所以b值不变,变化的只是c的值；可用c表示出A、B、C的坐标,若S△BCE=S△ABC,那么两个三角形中BC边上的高就应该相等；可过E作EF∥BC,交x轴于F,根据平行线分线段成比例定理知AB=BF,由此可求出BF的长；易证得Rt△EDF∽Rt△COB,根据相似三角形所得到的成比例线段即可求出c的值,也就确定了抛物线的解析式,即可得到C、B的坐标,进而可用待定系数法求出直线BC的解析式；
（3）可设平移后抛物线的解析式为y=-（x-h）2+k,与（2）的方法类似,也是通过做平行线,求出BF、DF的长,进而根据相似三角形来求出h、k的关系式,进而可根据E点在直线y=-4x+3上求出h、k的值,进而可确定平移后的抛物线解析式．
（1）当b=2,c=3时,抛物线的解析式为y=-x2+2x+3,即y=-（x-1）2+4；
∴抛物线顶点E的坐标为（1,4）（2分）
（2）将（1）中的抛物线向下平移,则顶点E在对称轴x=1上,有b=2,
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+c（c＞0）；
∴此时,抛物线与y轴的交点为C（0,c）,顶点为E（1,1+c）；
∵方程-x2+2x+c=0的两个根为 x1=1-1+c,x2=1+1+c,
∴此时,抛物线与x轴的交点为A（1- 1+c,0）,B（1+ 1+c,0）；
如图,过点E作EF∥CB与x轴交于点F,连接CF,则S△BCE=S△BCF
∵S△BCE=S△ABC,
∴S△BCF=S△ABC
∴ BF=AB=21+c
设对称轴x=1与x轴交于点D,
则 DF=12AB+BF=31+c
由EF∥CB,得∠EFD=∠CBO
∴Rt△EDF∽Rt△COB有 EDDF=COOB
∴ 1+c31+c=c1+1+c结合题意,解得 c=54
∴点 C,(0,54),B,(52,0)设直线BC的解析式为y=mx+n,则
{54=n0=52m+n,解得 {m=-12n=54；
∴直线BC的解析式为 y=-12x+54；（6分）
（3）根据题意,设抛物线的顶点为E,（h,k）,h＞0,k＞0；
则抛物线的解析式为y=-（x-h）2+k,
此时,抛物线与y轴的交点为C,（0,-h2+k）,
与x轴的交点为 A,(h-k,0),B,(h+k,0),k＞h＞0、
过点E作EF∥CB与x轴交于点F,连接CF,
则S△BCE=S△BCF；
由S△BCE=2S△AOC,
∴S△BCF=2S△AOC,得 BF=2AO=2(k-h)；
设该抛物线的对称轴与x轴交于点D；
则 DF=12AB+BF=3k-2h；
于是,由Rt△EDF∽Rt△COB,有 EDDF=COOB
∴ k3k-2h=-h2+kh+k,即 2h2-5kh+2k=0
结合题意,解得 h=12k①
∵点E（h,k）在直线y=-4x+3上,有k=-4h+3②
∴由①②,结合题意,解得 k=1
有k=1,h=12
∴抛物线的解析式为 y=-x2+x+34．（10分）