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已知函数f(x)=2cosxsin(x+π/6)-sin²x+cos²x,(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)当x∈[-π/12,π/6],求函数f(x)的最大值、最小值及相应的x值
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已知函数f(x)=2cosxsin(x+π/6)-sin²x+cos²x,
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)当x∈[-π/12,π/6],求函数f(x)的最大值、最小值及相应的x值
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)当x∈[-π/12,π/6],求函数f(x)的最大值、最小值及相应的x值
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答案和解析
2cosxsin(x+π/6)-sin²x+cos²x
=2cosx﹙sinxcosπ/6+cosxsinπ/6﹚+cos2x
=√3cosxsinx+cos²x+cos2x
=√3sin2x/2+﹙cos2x+1﹚/2+cos2x
=√3sin2x/2+3cos2x/2+1/2
=√3(sin2x/2+√3cos2x/2﹚+1/2
=√3(sin﹙2x+π/3﹚+1/2
∵2x+π/3∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2],k∈Z时,f(x)递增
∴函数f(x)的单调递增区间是[kπ-5π/12,kπ+π/12],k∈Z
当x∈[-π/12,π/6],2x+π/3∈[π/6,2π/3]
∴当2x+π/3=π/2即x=π/12时,f(x)的最大值是√3+1/2;
当2x+π/3=π/6即x=﹣π/12时,f(x)的最小值是√3/2+1/2.
=2cosx﹙sinxcosπ/6+cosxsinπ/6﹚+cos2x
=√3cosxsinx+cos²x+cos2x
=√3sin2x/2+﹙cos2x+1﹚/2+cos2x
=√3sin2x/2+3cos2x/2+1/2
=√3(sin2x/2+√3cos2x/2﹚+1/2
=√3(sin﹙2x+π/3﹚+1/2
∵2x+π/3∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2],k∈Z时,f(x)递增
∴函数f(x)的单调递增区间是[kπ-5π/12,kπ+π/12],k∈Z
当x∈[-π/12,π/6],2x+π/3∈[π/6,2π/3]
∴当2x+π/3=π/2即x=π/12时,f(x)的最大值是√3+1/2;
当2x+π/3=π/6即x=﹣π/12时,f(x)的最小值是√3/2+1/2.
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