早教吧作业答案频道 -->数学-->
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥ABCD,PB,PD与平面ABCD所成角的正切值为1和1/2,AP=2E,F依次是PB,PC的中点.求直线EC与平面PAD所成角的正弦值.急.xiexie.
题目详情
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥ABCD,PB,PD与平面ABCD所成角的正切值为1和1/2,AP=2
E,F依次是PB,PC的中点.
求直线EC与平面PAD所成角的正弦值.急.xiexie.
E,F依次是PB,PC的中点.
求直线EC与平面PAD所成角的正弦值.急.xiexie.
▼优质解答
答案和解析
令AB、CD的中点分别为M、N.
∵E、M分别是PB、AB的中点,∴EM是△PAB的中位线,∴EM∥PA,∴EM∥平面PAD.
∵ABCD是矩形,∴AD∥BC,又M、N分别是AB、CD的中点,∴MN∥AD,∴MN∥平面PAD.
∵EM∥平面PAD、MN∥平面PAD、EM∩MN=M,∴平面EMN∥平面PAD.
∵ABCD是矩形,∴CD⊥AD.
∵PA⊥平面ABCD,∴CD⊥PA.
∵CD⊥AD、CD⊥PA、PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD,而平面EMN∥平面PAD,
∴CD⊥平面EMN,∴∠CEN=EC与平面EMN所成的角=EC与平面PAD所成的角.
∵PA⊥平面ABCD,
∴∠PBA=PB与平面ABCD所成的角、∠PDA=PD与平面ABCD所成的角,
∴tan∠PBA=1、tan∠PDA=1/2.
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB、PA⊥AD,∴tan∠PBA=PA/AB、tan∠PDA=PA/AD,
又tan∠PBA=1、tan∠PDA=1/2,∴PA/AB=1、PA/AD=1/2,而PA=2,∴AB=2、AD=4.
∵ABCD是矩形,∴BC=AD=4,显然有:BM=AB/2=1.
∵PA⊥AB,∴PB=√(PA^2+AB^2)=√(4+4)=2√2,∴BE=PB/2=√2.
∵PA⊥平面ABCD,∴BC⊥PA.
∵ABCD是矩形,∴BC⊥AB.
∵BC⊥PA、BC⊥AB、PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,∴BC⊥BE,
∴EC=√(BE^2+BC^2)=√(2+16)=3√2.
∵CN⊥平面EMN,∴CN⊥EN,∴EN=√(EC^2-CN^2)=√(18-1)=√17.
∴sin∠CEN=EN/EC=√17/(3√2)=√34/6.
∴EC与平面PAD所成角的正弦值为√34/6.
∵E、M分别是PB、AB的中点,∴EM是△PAB的中位线,∴EM∥PA,∴EM∥平面PAD.
∵ABCD是矩形,∴AD∥BC,又M、N分别是AB、CD的中点,∴MN∥AD,∴MN∥平面PAD.
∵EM∥平面PAD、MN∥平面PAD、EM∩MN=M,∴平面EMN∥平面PAD.
∵ABCD是矩形,∴CD⊥AD.
∵PA⊥平面ABCD,∴CD⊥PA.
∵CD⊥AD、CD⊥PA、PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD,而平面EMN∥平面PAD,
∴CD⊥平面EMN,∴∠CEN=EC与平面EMN所成的角=EC与平面PAD所成的角.
∵PA⊥平面ABCD,
∴∠PBA=PB与平面ABCD所成的角、∠PDA=PD与平面ABCD所成的角,
∴tan∠PBA=1、tan∠PDA=1/2.
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB、PA⊥AD,∴tan∠PBA=PA/AB、tan∠PDA=PA/AD,
又tan∠PBA=1、tan∠PDA=1/2,∴PA/AB=1、PA/AD=1/2,而PA=2,∴AB=2、AD=4.
∵ABCD是矩形,∴BC=AD=4,显然有:BM=AB/2=1.
∵PA⊥AB,∴PB=√(PA^2+AB^2)=√(4+4)=2√2,∴BE=PB/2=√2.
∵PA⊥平面ABCD,∴BC⊥PA.
∵ABCD是矩形,∴BC⊥AB.
∵BC⊥PA、BC⊥AB、PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,∴BC⊥BE,
∴EC=√(BE^2+BC^2)=√(2+16)=3√2.
∵CN⊥平面EMN,∴CN⊥EN,∴EN=√(EC^2-CN^2)=√(18-1)=√17.
∴sin∠CEN=EN/EC=√17/(3√2)=√34/6.
∴EC与平面PAD所成角的正弦值为√34/6.
看了 在四棱锥P-ABCD中,底面...的网友还看了以下:
1.a≠0,b≠0,则a/|a|+b/|b|的不同取值的个数为()A.3B.2C.1D.02.若|x 2020-03-31 …
基本不等式超费解130已知a>b>0,求a2+1/(a*b)+1/[a*(a-b)]的最小值.a2 2020-05-13 …
1.已知a+b=0,且a不是0,则当n是自然数时,下列式子正确的是:A.a^2n+b^2n=0Ba 2020-05-13 …
设集合A={1,a,b},B={a,a^2,ab}且A=B,求实数A,B的值因为集合需要满足互异性 2020-05-15 …
如图为一个豌豆荚,内有6粒豌豆种子.图中a表示豌豆荚,b表示其中的一粒种子.下列有关叙述中,错误的 2020-06-28 …
如图为一个豌豆荚,内有6粒豌豆种子,图中a表示豌豆荚,b表示其中的一粒种子.下列有关叙述中,错误的 2020-06-28 …
如图为一个豌豆荚,内有6粒豌豆种子.图中a表示豌豆荚,b表示其中的一粒种子.下列有关叙述中,正确的 2020-06-28 …
如图为一个豌豆荚,内有6粒豌豆种子.图中a表示豌豆荚,b表示其中的一粒种子.下列有关叙述中,错误的 2020-06-28 …
如图为一个豌豆荚,内有6粒豌豆种子,图中a表示豌豆荚,b表示其中的一粒种子,下列有关叙述中,错误的 2020-06-28 …
假设集合A满足以下条件:诺a∈A,a不等于1,则1-a分之1属于A若a属于A,则1-a分之一属于A 2020-07-03 …