在正方体中M,N分别是AB1,A1C1上的点,且A1N=AM正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M.N分别为AB1和A1C1上的点,且A1N=AM.(1)求MN的长的最小值...

Question

在正方体中M,N分别是AB1,A1C1上的点,且A1N=AM
正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M.N分别为AB1和A1C1上的点,且A1N=AM.
(1)求MN的长的最小值...

Answer 1

连接:AC,AB1,CB1,得平面ACB1,
连接A1C1,A1D,DC1,得平面A1C1D.
由于AB1//DC1,AC//A1C1,
知:上述两平面平行.(一平面上的两条相交直线,与另一平面上两条相交直线分别平行,则这两平面平行)
连接BD1.
由于AC垂直于BD,AC垂直于BB1,故AC垂直于平面BDD1B1,(垂直于平面上的两相交直线,就垂直于这个平面),从而,AC垂直于BD1.(垂直于平面,就垂直于平面上的任何直线)
同理:BD1垂直于AB1.
即知BD1垂直于平面AB1C,从而BD1也垂直于平面A1C1D.
设AC,BD相交于G,A1C1,B1D1相交于G1.
连接GB1,交BD1于H,连接DG1交BD1于K.
知DGB1G1为平行四边形,从而知GB1//DG1.且知它们将BD1三等分:HK=(1/3)BD1=a*(根号3)/3
这就是上述两平行平面之间的距离.
而AB1,A1C1分别在这两平面上.而M,N又分别在这两条直线上,故MN的最小值为a*(根号3)/3.
可以证明:当AM=a*2(根号2)/3 A1N=a*(根号2)/3时,MN可取得此值.